[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1996年(平成8年)東京大学前期-数学(理科)[5]

2024.01.14記

[5] $xyz$ 空間内の円柱 $x^2+y^2=R^2$ ， $R\gt 0$ を側面とする容器に，水面が $z=0$ と一致するように $z\leqq0$ の部分に水がはいっている． $z\geqq 0$ に対して定義された連続な関数 $r(z)$ で
$r(0)=0$ ， $0\leqq r(z)\lt R$
をみたすものを考える． $xz$ 平面内の不等式
$0\leqq x \leqq r(z)$ ， $z\geqq 0$
で表される領域を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体を毎秒 $1$ の速さで下に動かすと， $t$ 秒後には水面が $z=f(t)$ に上昇するという．

$t\geqq 0$ に対し， $f(t)=e^t-t-1$ であるとき，関数 $r(z)$ を決定せよ．

2020.07.27記

[解答]
$dt$ 時間経過したときの体積の増減を考えると、
$r^2(t)dt=\{R^2-r^2(t+f(t))\}\{1+f'(t)\}dt-\{R^2-r^2(t)\}dt$
が成立し，整理して $t+f(t)=f'(t)（=e^t-1）$ を利用すると
$r^2(f'(t))\{1+f'(t)\}=R^2f'(t)$
となる．今 $f'(t)=e^t-1$ は単調増加で $f'(0)=0$ であるから，0以上の任意の実数をとり得るので $r^2(z)=R^2\dfrac{z}{1+z}$ が任意の0以上の実数に対して成立する．

$r(z)\geqq 0$ より $r(z)=R\sqrt{\dfrac{z}{1+z}}$ となる．