[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1997年(平成9年)京都大学前期-数学(理系)[2]

[2] $n$ が相異なる素数 $p，q$ の積， $n=pq$ ，であるとき， $(n-1)$ 個の数 ${}_n\mbox{C}_k$ ( $1\leqq k\leqq n-1$ ) の最大公約数は1であることを示せ。

2019.04.15記

二項係数が素数 p で割り切れない条件 - 球面倶楽部零八式 mark II
を用いる。

${}_n\mbox{C}_1=n=pq$ である。また、 $p$ 進数の割り算において $r+(pq-r)$ に繰り上がりが起きない $r$ として $r=p$ を選ぶことができるので、 ${}_n\mbox{C}_p$ は $p$ の倍数ではない。同様に ${}_n\mbox{C}_q$ は $q$ の倍数ではない。よって求める最大公約数は1となる。

$n$ は $p$ で割り切れるが、 $n$ は $p^2$ では割り切れないので、 $n$ の $p$ 進数表示の下2桁は $r0$ （ただし $r\geq 1$ ）のようになる。よって、 $p+(n-p)$ の計算には繰り上がりは生じない。

2020.04.13記
補足しておくと、 $p$ の $p$ 進数表示は $10$ で、 $n-p$ の $p$ 進数表示の下2桁は $(r-1)0$ （ただし $r-1\geq 0$ ）となるので、 $p+(n-p)$ の計算は、下2桁の $10+(r-1)0=r0$ で完結し、繰り上がりは生じない。