1957年(昭和32年)東京大学-数学(解析ＩＩ) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.11記

[1] 時刻 $t$ における2 点 ${\rm P}(x，y)，{\rm P}′(x′，y′)$ の座標が
$\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=20t-4t^2\end{array}\right.\quad$ $\left\{\begin{array}{l}x'=5-t \\ y'=h\end{array}\right.$
という関係式によって与えられているとき，この2 点間の距離が最小となる時刻を求めよ．

[2] 水を満たした半径r の球状の容器の最下端に小さな穴をあける．水が流れ始めた時刻を $0$ として時刻 $0$ から時刻 $t$ までに，この穴を通って流出した水の量を $f(t)$ ，時刻 $t$ における穴から水面までの高さを $y$ としたとき， $f(t)$ の導関数 $f′(t)$ と $y$ との間に
$f′(t)=\alpha\sqrt{y}$ （ $\alpha$ は正の定数）
という関係があると仮定する（ただし，水面はつねに水平に保たれているものとする）．水面の降下する速さが最小となるのは， $y$ がどのような値をとるときであるか，また水が流れ始めてからこのときまでに要する時間を求めよ．