1997年(平成9年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[1] $a$ ， $b$ を正の数とし， $xy$ 平面の $2$ 点 $\mbox{A}(a,0)$ および $\mbox{B}(0,b)$ を頂点とする正 $3$ 角形を $\mbox{ABC}$ とする．ただし， $\mbox{C}$ は第1象限の点とする．

(1) $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ が正方形
$D=\{(x,y)\,|\,0 \leqq x \leqq 1\mbox{，}\, 0\leqq y\leqq 1\}$
に含まれるような $(a,b)$ の範囲を求めよ．

(2) $(a,b)$ が(1)の範囲を動くとき， $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の面積 $S$ が最大となるような $(a,b)$ を求めよ．また，そのときの $S$ の値を求めよ．

2021.01.11記

[解答]
(1) ${\rm C}\Bigl(\dfrac{a+\sqrt{3}b}{2},\dfrac{\sqrt{3}a+b}{2}\Bigr)$
であるから，求める条件は
$0\leqq a\leqq 1$ ，
$0\leqq b\leqq 1$ ，
$0\leqq a+\sqrt{3}b\leqq 2$ ，
$0\leqq \sqrt{3}a+b\leqq 2$
となり，これを図示すれば良い．

(2) ${\rm AB}^2=a^2+b^2$ が最大となれば良い，つまり(1) の領域の中で原点から一番遠い場所を探せば良く，(1)の領域が凸多角形であることから，その頂点だけを調べればよく、その結果 $a^2+b^2$ は
$(a,b)$ $=(1,2-\sqrt{3})，$ $(\sqrt{3}-1,\sqrt{3}-1)，$ $(2-\sqrt{3},1)$
のとき最大値 $8-4\sqrt{3}$ をとる．
このとき正三角形の面積は
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2)=2\sqrt{3}-3$
となる．