[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1997年(平成9年)東京大学前期-数学(理科)[5]

2024.01.15記

[5] a を 0\lt a\lt \dfrac{1}{4} をみたす実数とする．xy 平面で，不等式 y^2 \leqq x^2(1-x^2)-a の表す領域を y 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

2020.01.11記
y軸回転は \pi\int x^2 dy だから，x^2 を y で表せば良い.

四分円の面積 \displaystyle\int_0^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\dfrac{\pi r^2}{4} を使う．

[解答]
(x^2)^2-x^2+a+y^2 により，
x^2=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4(y^2+a)}}{2}
となり，yの範囲は 1-4(y^2+a)\geqq 0 より
|y|\leqq\sqrt{\dfrac{1}{4}-a}（=r とおく） である．

よって，求める体積を V とすると
V=2\pi\displaystyle\int_0^r \sqrt{1-4(y^2+a)} dyV=4\pi\displaystyle\int_0^r \sqrt{r^2-y^2} dy=\pi^2 r^2=\pi^2\Bigl(\dfrac{1}{4}-a\Bigr)
となる．