1998年(平成10年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[1] $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}_1=(0,10)$ を中心とし半径が $1$ の円周 $C_1$ と， $\mbox{P}_2=(0,0)$ を中心とし半径が $2$ の円周 $C_2$ を与える． $xy$ の平面上の3点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ を頂点とし，角 $\angle\mbox{QRS}$ が直角になるような直角二等辺三角形 $\triangle\mbox{QRS}$ に関して次の問いに答えよ．

(1) 点 $\mbox{Q}$ が円周 $C_1$ 上を動き，点 $\mbox{R}$ が円周 $C_2$ 上を動くとき，第3の頂点 $\mbox{S}$ が動いた軌跡を求めよ．

(2) さらに，直線 $x+2y=10$ の上にある点 $\mbox{P}_3$ を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周 $C_3$ を与える．点 $\mbox{P}_3$ を適当にとったところ，頂点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ がそれぞれ円周 $C_1$ ， $C_2$ ， $C_3$ 上にあり，角 $\triangle\mbox{QRS}$ が直角になるような直角二等辺三角形 $\triangle\mbox{QRS}$ がただ一つだけ定まったという．このときの $\mbox{P}_3$ の座標を求めよ．

[2] パラメタ $r$ ， $\theta$ $\Bigl(r\gt 0$ ， $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$ に対して $x$ の関数 $f(x)=r\sin(x+\theta)$ を考える．

(1) $r$ ， $\theta$ が等式
$\displaystyle\int_{0}{2\pi} {(\sin x-f(x))}^2\,dx =\displaystyle\int_{0}{2\pi} \sin^2 x\,dx \quad\quad$ (E)
をみたしているとき， $r$ を $\theta$ の関数として表せ．

(2) 式(E)を満たしながら $r$ ， $\theta$ を動かしたとき， $0\leqq x\leqq \pi$ における $y=f(x)$ のグラフは $xy$ 平面上を動く．これらのグラフが動く範囲 $D$ を求め，図示せよ．

(3) 図形 $D$ の面積を求めよ．

[3] グラフ $G=(V,W)$ とは有限個の頂点の集合 $V=\{\mbox{P}_1,…,\mbox{P}_n\}$ とそれらの間を結ぶ辺の集合 $W=\{E_1,…,E_m\}$ からなる図形をする．各辺 $E_j$ は丁度2つの頂点 $\mbox{P}_{i_1}$ ， $\mbox{P}_{i_2}$ $(i_1 \neq i_2)$ を持つ．頂点以外での辺同士の交わりは考えない．さらに，各頂点には白か黒の色がついていると仮定する．

例えば，図1のグラフは頂点が $n=5$ 個，辺が $m=4$ 個あり，辺 $E_i$ （ $i=1$ ，…， $4$ ）の頂点は $\mbox{P}_i$ と $\mbox{P}_5$ である． $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ は白頂点であり， $\mbox{P}_3$ ， $\mbox{P}_4$ ， $\mbox{P}_5$ は黒頂点である．

出発点とするグラフ $G_1$ （図2）は， $n=1$ ， $m=0$ であり，ただ1つの頂点は白頂点であるとする．

与えられたグラフ $G=(V,W)$ から新しいグラフ $G'=(V',W')$ を作る． $2$ 種類の操作を以下で定義する．これらの操作では頂点と辺の数がそれぞれ1だけ増加する．

（操作1）この操作は $G$ の頂点 $\mbox{P}_{i_0}$ を $1$ つ選ぶと定まる． $V'$ は $V$ に新しい頂点 $\mbox{P}_{n+1}$ を加えたものとする． $W'$ は $W$ に新しい辺 $E_{m+1}$ を加えたものとする．
$E_{m+1}$ の頂点は $\mbox{P}_{i_0}$ と $\mbox{P}_{n+1}$ とし， $G'$ のそれ以外の辺の頂点は $G$ での対応する辺の頂点と同じとする． $G$ において頂点 $\mbox{P}_{i_0}$ の色が白又は黒ならば， $G'$ における色はそれぞれ黒又は白に変化させる．それ以外の頂点の色は変化させない．また $\mbox{P}_{n+1}$ は白頂点にする（図3）．

（操作2）この操作は $G$ の辺 $E_{j_0}$ を1つ選ぶと定まる．
$V'$ は $V$ に新しい頂点 $\mbox{P}_{n+1}$ を加えたものとする． $W'$ は $W$ から $E_{j_0}$ を取り去り，新しい辺 $E_{m+1}$ ， $E_{m+2}$ を加えたものとする． $E_{j_0}$ の頂点が $\mbox{P}_{i_1}$ と $\mbox{P}_{i_2}$ であるとき， $E_{m+1}$ の頂点は $\mbox{P}_{i_1}$ と $\mbox{P}_{n+1}$ であり，
$E_{m+2}$ の頂点は $\mbox{P}_{i_2}$ と $\mbox{P}_{n+1}$ であるとする．
$G'$ のそれ以外の辺の頂点は $G$ での対応する辺の頂点と同じとする． $G$ において頂点 $\mbox{P}_{i_1}$ の色が白又は黒ならば， $G'$ における色はそれぞれ黒又は白に変化させる． $\mbox{P}_{i_2}$ についても同様に変化させる．それ以外の頂点の色は変化させない．また $\mbox{P}_{n+1}$ は白頂点にする（図4）．