1998年(平成10年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[3] (1) $x$ は $0^{\circ}\leqq x\leqq 90^{\circ}$ を満たす角とする．
$\left\{\begin{array}{l} \sin y=|\sin 4x| \\ \cos y=|\cos 4x| \\ 0^{\circ} \leqq y \leqq {90}^{\circ} \end{array}\right.$
となる $y$ を $x$ で表し，そのグラフを $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) $\alpha$ は $0^{\circ}\leqq\alpha\leqq {90}^{\circ}$ を満たす角とする． $0^{\circ}\leqq\theta_n\leqq 90^{\circ}$ を満たす角 $\theta_n$ ， $n=1$ ， $2$ ，… を
$\left\{\begin{array}{l} \theta_1=\alpha \\ \sin\theta_{n+1}=|\sin 4\theta_n| \\ \cos\theta_{n+1}=|\cos 4\theta_n|\end{array}\right.$
で定める． $k$ を $2$ 以上の整数として， $\theta_k=0^{\circ}$ となる $\alpha$ の個数を $k$ で表せ．

本問のテーマ

テント写像（パイこね変換）

2020.08.11記
テント写像（パイこね変換）
パイこね変換 - 球面倶楽部零八式 mark II

$s=\dfrac{x}{90^{\circ}}$ ， $t=\dfrac{y}{90^{\circ}}$ とおくと， $t=f(s)$ はテント写像 $T(x)$ を用いて $f(s)=T(T(s))$ と表現される．
$\dfrac{\theta_k}{90^{\circ}}=x_k$ とおくと， $x_k=f^{k-1}(x_1)=T^{2k-2}(x_1)$
となるので， $2^{2k-2}$ 個のジグザグした折れ線になる．このジグザグと横軸の交点の数は $2^{2k-3}+1$ 個．

1983年(昭和58年)北海道大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2002年(平成14年)東京大学後期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.08記

[解答]
(1) $0^{\circ}\leqq 4x\leqq 90^{\circ}$ のとき
$\cos y=\cos 4x$ ， $\sin y=\sin 4x$
から $y=4x$

$90^{\circ}\leqq 4x\leqq 180^{\circ}$ のとき
$\cos y=-\cos 4x$ ， $\sin y=\sin 4x$
から $y=180^{\circ}-4x$

$180^{\circ}\leqq 4x\leqq 270^{\circ}$ のとき
$\cos y=-\cos 4x$ ， $\sin y=-\sin 4x$
から $y=4x-180^{\circ}$

$270^{\circ}\leqq 4x\leqq 360^{\circ}$ のとき
$\cos y=\cos 4x$ ， $\sin y=-\sin 4x$
から $y=360^{\circ}-4x$

となるので，求めるグラフは「 $\wedge\wedge$ 」の形をしている（図示略）．

(2) (1)のグラフを $y=f(x)$ と表すことにすると
$\theta_{n+1}=f(\theta_n)$ $=f^2(\theta_{n-1})=\cdots=f^{n}(\theta_1)$
が成立する．
$f(x)$ は $0^{\circ}$ から $90^{\circ}$ までの片道を「 $\wedge\wedge$ 」の2往復，つまり4倍の道程に変換するので， $f^n(x)$ は $0^{\circ}$ から $90^{\circ}$ までの片道を $4^{n-1}$ 倍の道程に変換する．

よって $\theta_k=0$ となる $\alpha$ の個数は $\dfrac{4^{k-1}}{2}+1=2^{2k-3}+1$ 個となる．