1998年(平成10年)京都大学前期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.05.26記

[4] $a,m$ は自然数で $a$ は定数とする． $xy$ 平面上の点 $(a,m)$ を頂点とし，原点と点 $(2a,0)$ を通る放物線を考える．この放物線と $x$ 軸で囲まれる領域の面積を $S_m$ ，この領域の内部および境界線上にある格子点の数を $L_m$ とする．このとき，極限値 $\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{L_m}{S_m}$ を求めよ．ただし $xy$ 平面上の格子点とはその点の $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点のことである．

本問のテーマ

ピックの公式

2022.05.26記

[大人の解答] 放物線の $x^2$ の係数は $-\dfrac{m}{a^2}$ である．

領域の $x=k$ 上の格子点で $y$ 座標が最大のものを $Y_k$ とする．

$(0,0),(1,Y_k),\ldots,(2a-1,Y_{2a-1}), (2a,0)$ でできる多角形の面積を $P_m$ ，
$(0,0),(1,Y_k+1),\ldots,(2a-1,Y_{2a-1}+1), (2a,0)$ でできる多角形の面積を $Q_m$
とすると，
$P_m\leqq S_m-2a\cdot\dfrac{m}{6a^2}\leqq Q_m$
が成立する．

ピックの公式により
$P_m=(L_m-4a)+\dfrac{4a}{2}-1=L_m-2a-1$ ，
$Q_m=\{(L_m+2a-1)-4a\}+\dfrac{4a}{2}-1=L_m-2$
が成立するので，
$L_m-2a-1\leqq S_m-\dfrac{m}{3a}\leqq L_m-2$
つまり
$1+\dfrac{-2a\cdot\dfrac{m}{6a^2}+2}{S_m} \leqq \dfrac{L_m}{S_m} \leqq 1+\dfrac{-\dfrac{m}{3a}+2a+1}{S_m}$
となる． $S_m=\dfrac{4am}{3}$ に注意すると， $m\to\infty$ で
$1+\dfrac{-\dfrac{m}{3a}+2}{S_m}$ $=1-\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{6}{4am}\to 1+\dfrac{1}{4a^2}$ ，
$1+\dfrac{-\dfrac{m}{3a}+2a+1}{S_m}$ $=1-\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{6a+3}{4am}\to 1+\dfrac{1}{4a^2}$
であるから，はさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{L_m}{S_m}=1+\dfrac{1}{4a^2}$
となる．