2023年(令和5年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[2] 座標平面上の放物線 $y=3x^2-4x$ を $C$ とおき，直線 $y=2x$ を $l$ とおく．実数 $t$ に対し， $C$ 上の点 $P(t, \, 3t^2-4t)$ と $l$ の距離を $f(t)$ とする．

(1) $-1 \leqq a \leqq 2$ の範囲の実数 $a$ に対し，定積分 $g(a)=\displaystyle\int_{-1}^a f(t) dt$ を求めよ．

(2) $a$ が $0 \leqq a \leqq 2$ の範囲を動くとき， $g(a)-f(a)$ の最大値および最小値を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
(1) 点と直線の距離の公式により
$f(t)=\dfrac{|2t-(3t^2-4t)|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|t(t-2)|}{\sqrt{5}}$
だから，

(i) $-1\leqq a\leqq 0$ のとき
$g(a)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\displaystyle\int_{-1}^{a} (t^2-2t) dt$ $=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(a^3-3a^2+4)$

(ii) $0\leqq a\leqq 2$ のとき
$g(a)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\displaystyle\int_{-1}^{0} (t^2-2t) dt$ $+\dfrac{3}{\sqrt{5}}\displaystyle\int_{0}^{1} (2t-t^2-2t) dt$ $=\dfrac{4}{\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-a^3+3a^2)$ $=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-a^3+3a^2+4)$

となる．

(2) $h(a)=g(a)-f(a)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-a^3+6a^2-6a+4)$ の $0\leqq a\leqq 2$ における増減表を書く．
$h'(a)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}(-a^2+4a-2)$
より

$a$	$0$	$\cdots$	$2-\sqrt{2}$	$\cdots$	$2$
$h'(a)$		$-$	$0$	$+$
$h(a)$	$\dfrac{4}{\sqrt{5}}$	$\searrow$	$\dfrac{8-4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$	$\nearrow$	$\dfrac{8}{\sqrt{5}}$

となり， $a=2$ で最大値 $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$ ， $a=2-\sqrt{2}$ で最小値 $\dfrac{8-4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ をとる．