2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[4] 座標平面上を運動する3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ があり，時刻 $t$ における座標が次で与えられている．
$\mbox{P}:x=\cos t，y=\sin t$ ，
$\mbox{Q}:x=1-vt，y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$\mbox{R}:x=1-vt，y=1$

ただし， $v$ は正の定数である．この運動において，以下のそれぞれの場合に $v$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(1) 点 $\mbox{P}$ と線分 $\mbox{QR}$ が時刻 $0$ から $2\pi$ までの間ではぶつからない．

(2) 点 $\mbox{P}$ と線分 $\mbox{QR}$ がただ一度だけぶつかる．

2021.01.13記

[解答]
点 ${\rm P}$ と線分 $\rm QR$ がぶつかる必要十分条件は，
$1-vt=\cos t$ かつ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq \sin t\leqq 1$ をみたす $t$ が存在すること，すなわち，
$1-vt=\cos t$ かつ $-\dfrac{1}{2}\leqq \cos t\leqq \dfrac{1}{2}$ かつ「ある整数 $m$ を用いて $2m\pi\leqq t\leqq (2m+1)\pi$ とかける」ような $t$ が存在することである．

(1) $1-vt=\cos t$ かつ $-\dfrac{1}{2}\leqq \cos t\leqq \dfrac{1}{2}$ かつ $0\leqq t\leqq\pi$ となるような $t$ が存在しない条件を求めれば良い．

これは $1-vt=\cos t$ が $\dfrac{\pi}{3}\leqq t\leqq \dfrac{2\pi}{3}$ に解をもたない条件と同値であり， $y=-vt+1$ と $y=\cos t$ が $\dfrac{\pi}{3}\leqq t\leqq \dfrac{2\pi}{3}$ で交わらない条件と同値である．

よってグラフから $0\lt v\lt \dfrac{3}{2\pi}$ または $\dfrac{9}{4\pi}\lt v$

(2) (1) より $0\leqq t\leqq 2\pi$ で交わる条件は $4\leqq \dfrac{9}{\pi v} \leqq 6$ である．

一般に $2m\pi\leqq t\leqq (2m+1)\pi$ で交わる条件は $12m+4\leqq\dfrac{9}{\pi v} \leqq 36m+6$ である．

区間 $I_m=[12m+4,36m+6]$ ， $I_{m+1}=[12m+16,36m+42]$ $I_{m+2}=[12m+28,36m+78]$ について，
$m\geqq 1$ のとき， $12m+4\lt 12m+28 \lt 36m+6\lt 36m+78$ だから，
$I_m\cup I_{m+2}=[12m+4,36m+78]\supset I_{m+1}$
が成立する．

よって， $m\geqq 2$ のとき， $I_m$ に含まれる点は2つ以上の区間に含まれることになり，つまり $28$ 以上の数は必ず2つ以上の区間に含まれる．

よって $I_0[[4,6]，I_1=[16,42]$ において $28$ 未満となる範囲を求めれば良く，それは $[4,6]，[16,28)$ である．

よって， $4\leqq\dfrac{9}{\pi v}\leqq 6，16\leqq\dfrac{9}{\pi v}\lt 28$ となり，
$\dfrac{9}{28\pi}\lt v\leqq\dfrac{9}{16\pi}，\dfrac{3}{2\pi}\leqq v\leqq \dfrac{9}{4\pi}$
となる．