1958年(昭和33年)東京大学数学(解析Ｉ)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 一平面上の二点 $P(x,y)$ 、 $Q(X,Y)$ の座標の間に， $X=\dfrac{x}{x^2+y^2}，Y=-\dfrac{y}{x^2+y^2}$ という関係がある．
このとき，点 $P(x,y)$ が，不等式
$(4x+3y-5)(4x-3y+5)\gt0$
で表わされる範囲を動くとき，点 $Q(X,Y)$ はどのような範囲を動くか． $P$ の動く範囲および $Q$ の動く範囲に斜線を引いて，これらを示せ．

2019.04.03記
反転(の複素共役)の問題。原点を通らない2直線で分けられる領域は原点を通る2円にうつるのでその2円で分けられる4つの領域のうち2つに斜線が引かれることになる。

[解答]
$z=x+yi$ とおき， $\alpha=4+3i$ ， $\beta=\dfrac{4+3i}{5}=\dfrac{\alpha}{|\,\alpha\,|}$ とおくと， $P$ のみたす領域
$(4x+3y-5)(4x-3y+5)\gt0$
は
$\bigl(\mbox{Re}\left(\bar{\alpha} z\right)-|\,\alpha\,|\bigr) \bigl(\mbox{Re}\left(\alpha z\right)+|\,\alpha\,|\bigr)\gt0$
となり，両辺を $|\,\alpha\,|^2>0$ で割ると
$\bigl(\mbox{Re}\left(\bar{\beta} z\right)-1\bigr)\bigl(\mbox{Re}\left(\beta z\right)+1\bigr)\gt0$
となる． $Z=X+Yi$ とおくと， $Z=\dfrac{1}{z}$ であるから， $Q$ のみたす領域は
$\Bigl(\mbox{Re}\left(\dfrac{\bar{\beta}}{Z}\right)-1\Bigr)\Bigl(\mbox{Re}\left(\dfrac{\beta}{Z}\right)+1\Bigr)\gt0$
となる．ここでそれぞれの括弧に $|\,Z\,|^2=Z\bar{Z}$ を掛け，さらに前の括弧を $-1$ 倍すると
$\bigl(|\,Z\,|^2-\mbox{Re}\left(\bar{\beta}\,\bar{Z}\right)\bigr)\bigl(|\,Z\,|^2+\mbox{Re}\left(\beta\bar{Z}\right)\bigr)\lt0$
となり， $\mbox{Re}(u)=\mbox{Re}(\bar{u})$ に注意すると
$\bigl(|\,Z\,|^2-\mbox{Re}(\beta Z)\bigr)\bigl(|\,Z\,|^2+\mbox{Re}(\bar{\beta}Z)\bigr)\lt0$
となる．よって $Q$ のみたす領域は
$\Bigl( X^2+Y^2-\dfrac{4X-3Y}{5}\Bigr)\Bigl( X^2+Y^2+\dfrac{4X+3Y}{5}\Bigr)\lt0$
となる．