2001年(平成13年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[4] 白石 $180$ 個と黒石 $181$ 個の合わせて $361$ 個の碁(ご)石が横に一列に並んでいる．碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ．

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる．ただし，碁石が一つも残らない場合も同数とみなす．

2021.01.17記
中間値の定理。

[解答]
左から $n$ 番目の碁石より左側にある白い碁石，黒い碁石の数をそれぞれ $w_n，b_n$ とし， $d_n=b_n-w_n$ とおくと $d_{n+1}$ は $d_n+1$ または $d_n-1$ である．

左端の碁石が黒い碁石のとき，これより右にある碁石を全て取り除くと，碁石が一つも残らないので題意をみたし，右端の碁石が黒い碁石のとき，右端の碁石を取り除くと，双方180個ずつとなりやはり題意をみたす．

よって，両端が白い碁石の場合を考える．このとき， $w_2=1，b_2=0$ であるから， $d_2=-1\lt 0$ であり， $w_{361}=179，b_{361}=181$ だから $d_{361}=2\gt 0$ となるが， $d_n$ は $\pm1$ ずつ変化するので，中間値の定理から $d_n=0$ をみたす $2\lt n\lt 361$ なる $n$ が存在し，その $n$ に対して
$w_n=b_n$ となるので題意をみたす．