2001年(平成13年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[1] 半径 $r$ の球面上に4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ がある．四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺の長さは，
$\mbox{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{BC}=\mbox{BD}=\mbox{CD}=2$
を満たしている．このとき $r$ の値を求めよ．

[2] 時刻 $0$ に原点を出発した $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ が $xy$ 平面上を動く．点 $\mbox{A}$ の時刻 $t$ での座標は $(t^2,0)$ で与えられる．点 $\mbox{B}$ は，最初は $y$ 軸上を $y$ 座標が増加する方向に一定の速さ $1$ で動くが，点 $\mbox{C}(0,3)$ に到達した後は，その点から $x$ 軸に平行な直線上を $x$ 座標が増加する方向に同じ速さ $1$ で動く．

$t\gt 0$ のとき，三角形 $\mbox{ABC}$ の面積を $S(t)$ とおく．

(1) 関数 $S(t)$ （ $t\gt 0$ ）のグラフの概形を描け．

(2) $u$ を正の実数とするとき， $0\lt t\leqq u$ における $S(t)$ の最大値を $M(u)$ とおく．関数 $M(u)$ （ $u\gt 0$ ）のグラフの概形を描け．

[3] コインを投げる試行の結果によって，数直線上にある $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を次のように動かす．

表が出た場合：点 $\mbox{A}$ の座標が点 $\mbox{B}$ の座標より大きいときは， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， $\mbox{A}$ のみ正の方向に1動かす．

裏が出た場合：点 $\mbox{B}$ の座標が点 $\mbox{A}$ の座標より大きいときは， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， $\mbox{B}$ のみ正の方向に1動かす．

最初 $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は原点にあるものとし，上記の試行を $n$ 回繰り返して $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を動かしていった結果， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の到達した点の座標をそれぞれ $a$ ， $b$ とする．