2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5] 容量 $1$ リットルの $m$ 個のビーカー（ガラス容器）に水が入っている． $m\geqq 4$ で空(から)のビーカーは無い．入っている水の総量は $1$ リットルである．また $x$ リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，その他のビーカーには $x$ リットル未満の水しか入っていない．

このとき，水の入っているビーカーが $2$ 個になるまで，次の(a)から(c)までの操作を，順に繰り返し行う．

(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ．

(b) さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ．

この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは，そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

(1) $x\lt \dfrac{1}{3}$ のとき，最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーは，操作の途中で空になって取り除かれるか，または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ．

(2) $x\gt \dfrac{2}{5}$ のとき，最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーは，最後まで $x$ リットルの水が入ったままで残ることを証明せよ．

2020.09.04記
(1) は対偶をとると， $x\geqq\dfrac{1}{3}$ は最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーが最後まで残っていて，かつ水の量が増えていないための必要条件である．そして(2)は十分条件となる。

[解答]
(1) 対偶である「最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーが最後まで残っていて、かつ水の量が増えていないならば $x\geqq\dfrac{1}{3}$ である」ことを証明する．

残りのビーカーが3本になった状態において、最後まで残っていて、かつ水の量が増えていないならば、この状態において選ばれてはいけないので、この状態において3本のビーカーのうち、水の量が最大のものが $x$ リットル入っているビーカーであることが必要である。3本のビーカーにある水の合計は1リットルであるから、 $x\geqq\dfrac{1}{3}$ が必要であるから、対偶が証明され、題意も証明された。

(2) 最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーが、最後まで $x$ リットルの水が入ったままで残るためには、最後の4本のビーカーにおいて、最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカー以外の3つのビーカーに入っている水の量の少ないもの2つを合計したときに必ず $x$ リットル未満となっていれば十分である。

最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカー以外の3つのビーカーに入っている水の量は $1-x$ リットルであるから、水の少ないもの2つの合計は必ず $(1-x)\times\dfrac{2}{3}$ 以下となるので
$(1-x)\times\dfrac{2}{3}\lt x\,\Longleftrightarrow\, x\gt\dfrac{2}{5}$
であれば十分である。よって題意は証明された。