2024.02.12記
[4] 複素数平面上の点 ,,…,,… を
により定め,(,,…)とおく.ただし, は虚数単位である.
により定め,(,,…)とおく.ただし, は虚数単位である.
(1) 3点 ,, を通る円 の中心と半径を求めよ.
(2) すべての点 (,,…)は円 の周上にあることを示せ.
本問のテーマ
メビウス変換(一次分数変換)
2020.09.04記
一次分数変換 によって,円 が不動という話.
複素平面で は単位円に関する反転。
2021.01.17記
[解答]
(1) を で割ると が成立する.
より となる.
(1) を で割ると が成立する.
より となる.
求める円の中心を ,半径を とおくと,
となる.第2項と第3項より ,第3項と第4項より だから, となり, となる.
よって中心は ,半径は となる.
(2) 変換 による ( を直径とする円)の像を求める.
, の二段階で変換する.
は単位円に関する反転と実軸対称移動だから, は を直径とする円,つまり を直径とする円を描く.
は だけ平行移動するので, は を直径とする円を描くので,これは に一致する.
よって, が 上のとき, も 上にあるので,(1) とあわせて,任意の自然数 について, は 上にある.