2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[6] コインを投げる試行の結果によって，数直線上にある $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を次のように動かす．

表が出た場合：点 $\mbox{A}$ の座標が点 $\mbox{B}$ の座標より大きいときは， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， $\mbox{A}$ のみ正の方向に1動かす．

裏が出た場合：点 $\mbox{B}$ の座標が点 $\mbox{A}$ の座標より大きいときは， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， $\mbox{B}$ のみ正の方向に1動かす．

最初 $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は原点にあるものとし，上記の試行を $n$ 回繰り返して $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を動かしていった結果， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の到達した点の座標をそれぞれ $a$ ， $b$ とする．

(1) $n$ 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数 $2^n$ 通りのうち， $a=b$ となる場合の数を $X_n$ とおく． $X_{n+1}$ と $X_n$ の間の関係式を求めよ．

(2) $X_n$ を求めよ．

(3) $n$ 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数 $2^n$ 通りについての $a$ の値の平均を求めよ．

2020.09.04記
期待値が範囲外になったので，平均という言葉になっている．

実験してみれば，AとBは2以上離れないことがわかる．

2021.01.17記（2020.09.04記の略解を補足）

[解答]
(1) $n$ 回コインを投げたときの $\rm A，B$ の座標を $a_n，b_n$ とする．

$a_n$ と $b_n$ が等しいとき， $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ の差は $1$ となり，
$a_n$ と $b_n$ の差が $1$ となるとき， $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ の差は $0$ または $1$ となる．

$a_0=b_0$ により， $a_n$ と $b_n$ の差は $0$ または $1$ となる．

$a_n-b_n=-1，1$ となる場合の数を $Y_n，Z_n$ とすると対称性から $Y_n=Z_n$ であり， $X_n+Y_n+Z_n=2^n$ となる．

$X_{n+1}=Y_n+Z_n$ であるから， $X_{n+1}=2^n-X_n$ となる．

(2) $\dfrac{X_n}{2^n}=p_n$ とおくと
$2p_{n+1}=1-p_n$ となるので， $p_1=0$ から
$p_n=-\dfrac{1}{3}\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)^{n-1}+\dfrac{1}{3}$
となり
$X_n=\dfrac{2\times (-1)^n+2^n}{3}$

(3) $n$ 回後の $a$ の平均と $b$ の平均は等しいので， $a+b$ の平均 $E_n$ を求める．

$a_n-b_n=0$ のとき， $a+b$ は平均 $1=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}$ 増える．
$a_n-b_n=\pm 1$ のとき， $a+b$ は平均 $\dfrac{3}{2}$ 増える．

よって，
$E_{n+1}=E_n+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}p_n$
が成立する． $E_1=1$ を用いて
$E_n=E_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \Bigl(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}p_n\Bigr)$
となり，これを計算すると
$E_n=\dfrac{4}{3}n-\dfrac{2}{9}-\dfrac{1}{9}\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)^{n-1}$
となり，求める平均はこれの半分の
$\dfrac{2}{3}n-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)^{n}$
となる．