2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[1] 半径 $r$ の球面上に4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ がある．四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺の長さは， $\mbox{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{BC}=\mbox{BD}=\mbox{CD}=2$
を満たしている．このとき $r$ の値を求めよ．

[2] 次の等式を満たす関数 $f(x)$ （ $0\leqq x\leqq 2\pi$ ）がただ一つ定まるための実数 $a$ ， $b$ の条件を求めよ．また，そのときの $f(x)$ を決定せよ．
$f(x)=\dfrac{a}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sin(x+y)f(y)dy$ $+\dfrac{b}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \cos(x-y)f(y)dy+\sin x+\cos x$
ただし， $f(x)$ は区間 $0\leqq x\leqq 2\pi$ で連続な関数とする．

[3] 実数 $t\gt 1$ に対し， $xy$ 平面上の点 $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{P}(1,1)$ ， $\mbox{Q}\left(t,\dfrac{1}{t}\right)$ を頂点とする三角形の面積を $a(t)$ とし，線分 $\mbox{OP}$ ， $\mbox{OQ}$ と双曲線 $xy=1$ とで囲まれた部分の面積を $b(t)$ とする．このとき $c(t)=\dfrac{b(t)}{a(t)}$ とおくと，関数 $c(t)$ は $t\gt 1$ においてつねに減少することを示せ．

[4] 複素数平面上の点 $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_n$ ，… を
$\left\{ \begin{array}{l} a_1=1, \quad a_2=i, \\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad（n=1，2，…）\end{array}\right.$
により定め， $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）とおく．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1) 3点 $b_1$ ， $b_2$ ， $b_3$ を通る円 $C$ の中心と半径を求めよ．

(2) すべての点 $b_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）は円 $C$ の周上にあることを示せ．

[5] 容量 $1$ リットルの $m$ 個のビーカー（ガラス容器）に水が入っている．
$m\geqq 4$ で空(から)のビーカーは無い．入っている水の総量は $1$ リットルである．また $x$ リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，その他のビーカーには $x$ リットル未満の水しか入っていない．

このとき，水の入っているビーカーが $2$ 個になるまで，次の(a)から(c)までの操作を，順に繰り返し行う．

(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ．

(b) さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ．

この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは，そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

(1) $x\lt \dfrac{1}{3}$ のとき，最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーは，操作の途中で空になって取り除かれるか，または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ．

(2) $x\gt \dfrac{2}{5}$ のとき，最初に $x$ リットルの水の入っていたビーカーは，最後まで $x$ リットルの水が入ったままで残ることを証明せよ．

[6] コインを投げる試行の結果によって，数直線上にある $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を次のように動かす．

表が出た場合：点 $\mbox{A}$ の座標が点 $\mbox{B}$ の座標より大きいときは， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， $\mbox{A}$ のみ正の方向に1動かす．

裏が出た場合：点 $\mbox{B}$ の座標が点 $\mbox{A}$ の座標より大きいときは， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， $\mbox{B}$ のみ正の方向に1動かす．

最初 $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は原点にあるものとし，上記の試行を $n$ 回繰り返して $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を動かしていった結果， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の到達した点の座標をそれぞれ $a$ ， $b$ とする．