1984年(昭和59年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.25記

[1] 空間内の点の集合 $\{(x,y,z) \,|\, 0\leqq y,0\leqq z \}$ に含まれ，原点 $\mbox{O}$ において $x$ 軸に接し， $xy$ 平面と $45^{\circ}$ の傾きをなす，半径 $1$ の円板 $C$ がある．座標が $(0,0,2\sqrt{2})$ の位置にある点光源 $\mbox{P}$ により， $xy$ 平面上に投ぜられた円板 $C$ の影を $S$ とする．

(i) $S$ の輪郭を表す $xy$ 平面上の曲線の方程式を求めよ．

(ii) 円板 $C$ と影 $S$ の間にはさまれ，光の届かない部分のつくる立体の体積を求めよ．

[2] $xy$ 平面において，直線 $x=0$ を $L$ とし，曲線 $y=\log x$ を $C$ とする．さらに， $L$ 上，または $C$ 上，または $L$ と $C$ との間にはさまれた部分にある点全体の集合を $\textsf{A}$ とする． $\textsf{A}$ に含まれ，直線 $L$ に接し，かつ曲線 $C$ と
点 $(t,\log t)$ （ $0\lt t$ ）において共通の接線をもつ円の中心を $\mbox{P}_t$ とする．

$\mbox{P}_t$ の $x$ 座標， $y$ 座標を $t$ の関数として $x=f(t)$ ， $y=g(t)$ と表したとき，次の極限値はどのような数となるか．

(i) $\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{f(t)}{g(t)}$

(ii) $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\dfrac{f(t)}{g(t)}$

[3] 2以上の自然数 $k$ に対して $f_k(x)=x^k-kx+k-1$ とおく．このとき，次のことを証明せよ．

(i) $n$ 次多項式 $g(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるためには， $g(x)$ が定数 $a_2$ ，…， $a_n$ を用いて $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^{n} a_k f_k(x)$ の形に表されることが必要十分である．

(ii) $n$ 次多項式 $g(x)$ が $(x-1)^3$ で割り切れるためには， $g(x)$ が関係式 $\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{k(k-1)}{2}a_k=0$ をみたす定数 $a_2$ ，…， $a_n$ を用いて $g(x)=\displaystyle\sum_{k=2}^{n} a_k f_k(x)$ の形に表されることが必要十分である．

[4] 空間内に， $3$ 点 $\mbox{P}\left(1,\dfrac{1}{2},0\right)$ ， $\mbox{Q}\left(1,-\dfrac{1}{2},0\right)$ ，
$\mbox{R}\left(\dfrac{1}{4},0,\dfrac{\sqrt3}{4}\right)$ を頂点とする正3角形の板 $S$ がある． $S$ を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転させたとき， $S$ が通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ．

[5] 各世代ごとに，各個体が，他の個体とは独立に，確率 $p$ で1個，確率 $1-p$ で2個の新しい個体を次の世代に残し，それ自身は消滅する細胞がある．いま，第 $0$ 世代に1個であった細胞が，第 $n$ 世代に $m$ 個となる確率を， $P_n(m)$ とかくことにしよう．

$n$ を自然数とするとき， $P_n(1)$ ， $P_n(2)$ ， $P_n(3)$
を求めよ．

[6] $xy$ 平面において，不等式 $x^2\leqq y$ の表す領域を $D$ とし，不等式 $(x-4)^2\leqq y$ の表す領域を $E$ とする．

このとき，次の条件（＊）を満たす点 $\mbox{P}(a,b)$ 全体の集合を求め，これを図示せよ．

（＊） $\mbox{P}(a,b)$ に関して $D$ と対称な領域を $U$ とするとき，
$D \cap U \neq \phi, \quad E \cap U \neq \phi, \quad D \cap E \cap U = \phi$
が同時に成り立つ．ただし， $\phi$ は空集合を表すものとする．

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