2003年(平成15年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[2] $a$ ， $b$ を実数とする．次の $4$ つの不等式を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体
からなる領域を $D$ とする．
$x+3y \geqq a$ ，
$3x+y \geqq b$ ，
$x\geqq0$ ，
$y\geqq0$

領域 $D$ における $x+y$ の最小値を求めよ．

2021.01.20記

[解答]
$x+y=u$ ， $x-y=v$ とおくと，
$x+3y\geqq a$ は $u\geqq \dfrac{a+v}{2}$ …(1)，
$3x+y\geqq b$ は $u\geqq \dfrac{b-v}{2}$ …(2)，
$x\geqq 0$ は $u\geqq -v$ …(3)，
$y\geqq 0$ は $u\geqq v$ …(4)
となるので， $u$ の最小値は $\displaystyle\max_v \{-v,\dfrac{-v+b}{2},\dfrac{v+a}{2},v\}$ の最小値である．

$v$ の係数に着目すると，その最小値の候補は $v$ の係数が負から正となる場所だから，

$-v=\dfrac{v+a}{2}$ の場合の $\dfrac{a}{3}$ （ $v=-\dfrac{a}{3}$ ），

$-v=v$ の場合の $0$ （ $v=0$ ），

$\dfrac{-v+b}{2}=\dfrac{v+a}{2}$ の場合の $\dfrac{a+b}{4}$ （ $v=\dfrac{b-a}{2}$ ），

$\dfrac{-v+b}{2}=v$ の場合の $\dfrac{b}{3}$ （ $v=\dfrac{b}{3}$ ）

のいずれかである．

(i) 最小値が $\dfrac{a}{3}$ のとき， $v=-\dfrac{a}{3}$ において $\dfrac{-v+b}{2}\leqq\dfrac{a}{3}，v\leqq\dfrac{a}{3}$ となれば良いので，
$\dfrac{a+3b}{6}\leqq\dfrac{a}{3}，-\dfrac{a}{3}\leqq\dfrac{a}{3}$ より $a\geqq 3b，a\geqq 0$

(ii) 最小値が $0$ のとき， $v=0$ において $\dfrac{-v+b}{2}\leqq 0，\dfrac{v+a}{2}\leqq 0$
となれば良いので， $a\leqq0，b\leqq 0$

(iii) 最小値が $\dfrac{a+b}{4}$ のとき， $v=\dfrac{b-a}{2}$ において $-v\leqq\dfrac{a+b}{4}，v\leqq\dfrac{a+b}{4}$ となれば良いので，
$\dfrac{a-b}{2}\leqq\dfrac{a+b}{4}，\dfrac{b-a}{2}\leqq\dfrac{a+b}{4}$ より $3b\geqq a，3a\geqq b$

(iv) 最小値が $\dfrac{b}{3}$ のとき， $v=\dfrac{b}{3}$ において $-v\leqq\dfrac{b}{3}，\dfrac{v+a}{2}\leqq\dfrac{b}{3}$ となれば良いので，
$-\dfrac{b}{3}\leqq\dfrac{b}{3}，\dfrac{3a+b}{6}\leqq\dfrac{b}{3}$ より $b\geqq 3a，b\leqq 0$