2003年(平成15年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[4] さいころを振り，出た目の数で $17$ を割った余りを $X_1$ とする．ただし， $1$ で割った余りは $0$ である．

さらにさいころを振り，出た目の数で $X_1$ を割った余りを $X_2$ とする．以下同様にして， $X_n$ が決まればさいころを振り，出た目の数で $X_n$ を割った余りを $X_{n+1}$ とする．

このようにして， $X_n$ ， $n=1$ ， $2$ ，… を定める．

(1) $X_3=0$ となる確率を求めよ．

(2) 各 $n$ に対し， $X_n=5$ となる確率を求めよ．

(3) 各 $n$ に対し， $X_n=1$ となる確率を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

本問のテーマ

マルコフ過程

2021.01.28記

[大人の解答]
$\vec{X_n}=\begin{pmatrix} P(X_{n}=0) \\ P(X_{n}=1) \\ P(X_{n}=2) \\ P(X_{n}=5) \end{pmatrix}$ とおくと， $\vec{X_{n+1}}=A\vec{X_n}$ をみたす遷移行列 $A$ は $A=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ となる．

(1) $\vec{X_1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $A^2=\dfrac{1}{36}\begin{pmatrix} 36 & 11 & 20 & 18 \\ 0 & 25 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 16 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ だから， $\vec{X_3}=A^2\vec{X_1}=\dfrac{1}{216}\begin{pmatrix} 116 \\ 62 \\ 37 \\ 1 \end{pmatrix}$ となり， $P(X_3=0)=\dfrac{116}{216}=\dfrac{29}{54}$ となる．

(2) $(0,0,0,1)A=\dfrac{1}{6}(0,0,0,1)$ により
$P(X_n=5)$ $=(0,0,0,1)\vec{X_{n}}$ $=\dfrac{1}{6^{n-1}}(0,0,0,1)\vec{X_1}$ $=\dfrac{1}{6^{n-1}}\cdot\dfrac{1}{6}$ $=\dfrac{1}{6^n}$

(3) $P(X_n=1)$ $=(0,1,0,0)A\vec{X_{n-1}}$ $=\dfrac{5P(X_{n-1}=1)+2P(X_{n-1}=5)}{6}$
$=\dfrac{5}{6}P(X_{n-1}=1)+\dfrac{2}{6^n}$ により，
$p_n=P(X_n=1)$ $=\alpha\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^{n}+\beta\Bigl(\dfrac{1}{6}\Bigr)^{n}$ の形．

$p_1=\dfrac{1}{3}$ ， $p_2=(0,1,0,0)A\vec{X_1}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$ だから
$5\alpha+\beta=2$ ， $25\alpha+\beta=12$ となり， $\alpha=\dfrac{1}{2}，\beta=-\dfrac{1}{2}$ となるので， $P(X_n=1)=p_n=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{5}{6}\Bigr)^{n}-\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{6}\Bigr)^{n}$ となる．

[解答]
(1) $X_1\to X_2\to X_3$ で $X_3\neq 0$ の場合の数を数える．
$1\to 1\to 1$ は $2\times 5\times 5=50$ 通り
$2\to 2\to 2$ は $2\times 4\times 4=32$ 通り
$5\to 5\to 5$ は $1\times 1\times 1=1$ 通り
$5\to 5\to 2$ は $1\times 1\times 1=1$ 通り
$5\to 5\to 1$ は $1\times 1\times 2=2$ 通り
$5\to 2\to 2$ は $1\times 1\times 4=4$ 通り
$5\to 1\to 1$ は $1\times 2\times 5=10$ 通り
の全部で $100$ 通り．よって求める確率は $1-\dfrac{100}{216}=\dfrac{29}{54}$

(2) $X_n=5$ となるのは， $X_1=\cdots=X_n=5$ となるときのみだから， $\dfrac{1}{6^n}$

(3) $P(X_n=1)=p_n$ とおくと， $X_{n+1}=1$ ならば $X_n=1,5$ であり， $1\to 1$ なる確率は $\dfrac{5}{6}$ ， $5\to 1$ なる確率は $\dfrac{1}{3}$ だから，
$p_{n+1}=\dfrac{5}{6}p_n+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6^n}$
が成立する． $P_n=6^np_n$ とおくと $P_{n+1}=5P_n+2$ ， $P_1=2$ となり，これを解くと $P_n=\dfrac{5^{n}}{2}-\dfrac{1}{2}$ となるので $p_n=\dfrac{5^n}{2\cdot 6^n}-\dfrac{1}{2\cdot 6^n}$

[解答]
(1) $X_1\to X_2\to X_3$ の場合の数を数える．
$0\to 0\to 0$ は $1\times 6\times 6=36$ 通り
$1\to 1\to 0$ は $2\times 5\times 1=10$ 通り
$1\to 0\to 0$ は $2\times 1\times 6=12$ 通り
$2\to 2\to 0$ は $2\times 4\times 2=16$ 通り
$2\to 0\to 0$ は $2\times 2\times 6=24$ 通り
$5\to 5\to 0$ は $1\times 1\times 2=2$ 通り
$5\to 2\to 0$ は $1\times 1\times 2=2$ 通り
$5\to 1\to 0$ は $1\times 2\times 1=2$ 通り
$5\to 0\to 0$ は $1\times 2\times 6=12$ 通り
の全部で $116$ 通り．よって求める確率は $\dfrac{116}{216}=\dfrac{29}{54}$

(2)(3)（略）