1985年(昭和60年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.26記

[6] $xyz$ 空間において，点 $(0,0,0)$ を $\mbox{A}$ ，点 $(8,0,0)$ を $\mbox{B}$ ，点 $(6,2\sqrt{3},0)$ を $\mbox{C}$ とする．点 $\mbox{P}$ が $\triangle{\mbox{ABC}}$ の辺上を一周するとき， $\mbox{P}$ を中心とし半径 $1$ の球が通過する点全体のつくる立体を $K$ とする．

(1) $K$ を平面 $z=0$ で切った切り口の面積を求めよ．

(2) $K$ の体積を求めよ．

2020.12.14記

1959年(昭和34年)東京大学数学新課程数I幾何[2](旧課程幾何[2])
と同様、内心に着目すると良い．

[解答]
$\triangle\rm ABC$ の内接円の半径は $2\sqrt{3}-2$ である．

$z=h$ による切り口は $\triangle\rm ABC$ の周から幅 $r=\sqrt{1-h^2}$ 以下の部分となるので，

半径 $r$ の円 $\pi r^2$ ，

$\triangle\rm ABC$ の外側の幅 $r$ の帯 $(12+4\sqrt{3})r$ ，

三角形の内側の領域
$\triangle\rm ABC$ $\times \Bigl\{1-\Bigl(\dfrac{2\sqrt{3}-2-r}{2\sqrt{3}-2}\Bigr)^2\Bigr\}$
$=4(3+\sqrt{3})r-(3+2\sqrt{3})r^2$

の3つの部分の和として，断面積 $S(r)$ は
$S(r)=\pi r^2 +8(3+\sqrt{3})r-(3+2\sqrt{3})r^2$
となる．

(1) $r=1$ として $\pi+21+6\sqrt{3}$

(2) $\displaystyle 2\int_0^1S(r) dh$ において
$\displaystyle \int_0^1 r dh=\int_0^1 \sqrt{1-h^2} dh$ は四分円の面積 $\dfrac{\pi}{4}$
$\displaystyle \int_0^1 r^2 dh=\int_0^1 (1-h^2) dh$ は放物線の面積 $\dfrac{2}{3}$
だから，積分結果は
$\dfrac{40+12\sqrt{3}}{3}\pi-\dfrac{12+8\sqrt{3}}{3}$