2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[2] $\mbox{O}$ を原点とする複素数平面上で $6$ を表す点を $\mbox{A}$ ， $7+7i$ を表す点を $\mbox{B}$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である．正の実数 $t$ に対し， $\dfrac{14(t-3)}{(1-i)t-7}$ を表す点 $\mbox{P}$ をとる．

(1) $\angle\mbox{APB}$ を求めよ．

(2) 線分 $\mbox{OP}$ の長さが最大になる $t$ を求めよ．

2021.01.19記

[解答]
(1) $a=6$ ， $b=7+7i$ ， $p=\dfrac{14(t-3)}{(1-i)t-7}$ とおくと，
$\dfrac{b-p}{a-p}=\dfrac{7(i+i)}{2t}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2t}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$
より $\rm \angle APB=\dfrac{\pi}{4}$

(2) (1) より， $\rm P$ は円周上にある．その円の $\rm A$ を一端とする直径の他端 ${\rm C}(c)$ は，弧 $\rm AB$ の中心角が直角であることに注意すると，線分 $\rm AB$ は円に内接する正方形の一辺となることから， $c=b+i(b-a)=8i$ となり，よって円の中心は $\dfrac{a+c}{2}=3+4i$ となる．
よって， $\rm OP$ は， $p=2c=6+8i$ となれれば，それが最大となる．

実際、 $t=28$ のとき， $p=\dfrac{14\times 25}{21-28i}=6+8i$ となるので，線分 $\rm OP$ は $t=28$ のとき最大となる．