2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.14記

[解答]

${\rm O}(0,0)$ ， ${\rm A}(0,1)$ とする．
$\ell:y=(\tan\theta)x$ とおき， $\ell$ と $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ および $x^2+(y-1)^2=1$ との交点を ${\rm P}$ ， $\rm Q$ とおくと， $\angle{\rm AOP}=\dfrac{\pi}{2}-\theta$ に注意して
${\rm OP}=2\cos\angle{\rm AOP}$ $=2\sin\theta$ ， ${\rm OQ}=\dfrac{\sqrt{2}}{3\cos\theta}$
が成立する．よって
$L={\rm OP}-{\rm OQ}=2\sin\theta-\dfrac{\sqrt{2}}{3\cos\theta}:=L(\theta)$
となる．ここで， $\ell$ と $D$ が異なる2点で交わる $\theta$ の範囲は ${\rm OP}\gt {\rm OQ}$ ，つまり $L(\theta)\gt 0$ となる $\theta$ 範囲と同値であるから， $L(\theta)$ の増減表から $L(\theta)$ が正となる範囲内で最大値を求めれば良い（だから普通に増減表を書いて最大値を求めて，それが正の値であれば良い）．

$L'(\theta)=\dfrac{6\cos^3\theta-\sqrt{2}\sin\theta}{3\cos^2\theta}$
により $L'(\theta)=0$ となるのは $6\cos^3\theta-\sqrt{2}\sin\theta=0$ のとき，つまり
$\tan\theta(1+\tan^2\theta)=3\sqrt{2}$ のときであり，
$\tan\theta=\sqrt{2}t$ （ $t\gt0$ ）とおくと $2t^3+t=3$ となり，左辺が単調増加となることから $t=1$ に限る．つまり $\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となり， $L'(\theta)$ はこの前後で符号を正から負に変える．

よって $L(\theta)$ の増減表は， $L(\theta)=0$ となる $\theta$ を $\alpha,\beta$ ( $\alpha\lt\beta$ )とすると

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{2}$
$L'$		$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$L$	負	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	最大	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty$
$D$ と2点で交わる	×	×	×	○	○	○	×	×	×

のようになるので， $D$ と2点で交わる範囲内で $L$ は $\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときに最大値をとり，その最大値は $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ， $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ により
$L=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
となる．