[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2006年(平成18年)東京大学前期-数学(文科)

2024.02.19記

[1] 四角形 $\mbox{ABCD}$ が，半径 $\dfrac{65}{8}$ の円に内接している．この四角形の周の長さが $44$ で，辺 $\mbox{BC}$ と辺 $\mbox{CD}$ の長さがいずれも $13$ であるとき，残りの $2$ 辺 $\mbox{AB}$ と $\mbox{DA}$ の長さを求めよ．

[2] コンピュータの画面に，記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う．このとき，各操作で，直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は，それまでの経過に関係なく， $p$ であるとする．最初に，コンピュータの画面に記号×が表示された．操作をくり返し行い，記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に，記号○が $n$ 個出る確率を $\mbox{P}_n$ とする．ただし，記号○が $n$ 個出た段階で操作は終了する．

(1) $\mbox{P}_2$ を $p$ で表せ．

(2) $\mbox{P}_3$ を $p$ で表せ．

(3) $n\geqq 4$ のとき， $\mbox{P}_n$ を $p$ と $n$ で表せ．

[3] $n$ を正の整数とする．実数 $x$ ， $y$ ， $z$ に対する方程式
$x^n+y^n+z^n=xyz$ …①
を考える．

(1) $n=1$ のとき，①を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ で， $x\leqq y\leqq z$ となるものをすべて求めよ．

(2) $n=3$ のとき，①を満たす正の実数の組 $(x,y,z)$ は存在しないことを示せ．

[4] $\theta$ は， $0^{\circ}\lt \theta\lt {45}^{\circ}$ の範囲の角度を表す定数とする． $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲で，関数
$f(x)=|x+1|^3+|x-\cos 2\theta|^3+|x-1|^3$
が最小値をとるときの変数 $x$ の値を， $\cos\theta$ で表せ．

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