2007年(平成19年)東京大学後期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.09記

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2019.04.15記
大津の二値化
Otsu's method - Wikipedia

2021.02.05記
$\min\{x_i\}=m$ ， $\max\{x_i\}=M$ とし，連続近似し，データの密度関数を $f(x)\gt 0$ とすると

(A) $\alpha_0=p_0=m$ ， $q_0=M$
(B) $\alpha_n=\dfrac{p_{n-1}+q_{n-1}}{2}$
(C) $p_n=\displaystyle\int_{m}^{\alpha_n} xf(x)dx$ ， $q_n=\displaystyle\int_{\alpha_n}^M xf(x)dx$

のとき， $J_n=\displaystyle\int_{m}^{\alpha_n} (x-p_n)^2 f(x) dx +\displaystyle\int_{\alpha_n}^M (x-q)^2 f(x) dx$ 　は $n$ について減少するという問題に相当する．

分散の定義を思い出すと， $\displaystyle\int (x-\beta)^2 f(x) dx$ は $\beta$ が平均値，すなわち $\beta=\displaystyle\int xf(x) dx$ のとき最小となり，その最小値を分散と呼んだのだから，
$\alpha_n$ を固定するときの $J_n$ の最小値は (C) のときである．

また， $p_n，q_n$ を固定すると， $J_n$ を $\alpha_n$ で微分することにより，
$(\alpha_n-p_n)^2f(\alpha_n) - (\alpha_n-q_n)^2f(\alpha_n) =0$ ，つまり $f(\alpha_n)\gt 0$ に注意して
$(p_n-q_n)(p_n+q_n-2\alpha_n)=0$ のとき， $p_n\lt \alpha_n\lt q_n$ ，すなわち（それぞれのクラスのデータは一定値でないと仮定すると最小値 $\lt$ 平均 $\lt$ 最大値となることに注意して）(B) のときに最小となる．

よって，(B)(C)を繰り返すと $J_n$ は単調非増加であることがわかる．