[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

本問のテーマ

$xy=(\mbox{一定})$ のグラフの性質

2021.02.10記
$Y=\dfrac{2}{X}$ で良く知られている性質を線型変換したもの．
$X=y$ ， $Y=y-x$ という線型変換 $(X,Y)\mapsto (x,y)$ で $Y=\dfrac{2}{X}$ は $C$ に移る．

[解答]

(1) $C$ は $x=y-\dfrac{2}{y}（y\gt 0）$ であるから， ${\rm P}_i{\rm H}_i=\dfrac{2}{y_i}$ となり， $\triangle{\rm OP}_i{\rm H}_i=\dfrac{1}{2}\cdot y_i\cdot\dfrac{2}{y_i}=1$ であるから $\triangle{\rm OP}_1{\rm H}_1=\triangle{\rm OP}_2{\rm H}_2$

(2) 面積を求める部分に $\triangle{\rm OP}_2{\rm H}_2=1$ を足して $\triangle{\rm OP}_1{\rm H}_1=1$ を除くと， $C$ と $y=x$ と $y=y_1$ と $y=y_2$ で囲まれる部分となり，その面積は $\displaystyle\int_{y_1}^{y_2} \dfrac{2}{y}dy=2\log\dfrac{y_2}{y_1}$ となる．