1987年(昭和62年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[1] 行列 $A=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の表す $xy$ 平面の一次変換が，直線 $y=2x+1$ を直線 $y=-3x-1$ へうつすとする．点 $\mbox{P}(1,2)$ がうつる点を $\mbox{Q}$ とし，原点を $\mbox{O}$ とするとき，二直線 $\mbox{OP}$ と $\mbox{OQ}$ のなす角の大きさを求めよ．

[2]点 $(x,y)$ を点 $(x+a,y+b)$ にうつす平行移動によって曲線 $y=x^2$ を移動して得られる曲線を $C$ とする． $C$ と曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ ， $x\gt 0$ が接するような $a$ ， $b$ を座標とする点 $(a,b)$ の存在する範囲の概形を図示せよ．

また，この二曲線が接する点以外に共有点を持たないような $a$ ， $b$ の値を求めよ．ただし，二曲線がある点で接するとは，その点で共通の接線を持つことである．

[3] $xyz$ 空間内の点 $\mbox{P}(0,0,1)$ を中心とする半径 $1$ の球面 $\mbox{K}$ がある．

$\mbox{K}$ 上の点 $\mbox{Q}(a,b,c)$ が条件 $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ ， $c\gt 1$ のもとで $\mbox{K}$ 上を動くとき， $\mbox{Q}$ において $\mbox{K}$ に接する平面を $\mbox{L}$ とし， $\mbox{L}$ が $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸と交わる点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ とする．このような三角形 $\mbox{ABC}$ の面積の最小値を求めよ．

[4] $xyz$ 空間において，点 $\mbox{P}$ は $yz$ 平面上の放物線 $z=1-y^2$ 上にあるとする．点 $\mbox{A}(1,0,1)$ と $\mbox{P}$ を結ぶ直線を $x$ 軸のまわりに回転して得られる曲面と二平面 $x=0$ ， $x=1$ とによって囲まれる部分の体積を $V$ とする． $V$ を $\mbox{P}$ の $y$ 座標で表せ．また $V$ の最小値を求めよ．

[5] $n$ を2以上の自然数とする． $x_1\geqq x_2\geqq\,\cdots\,\geqq x_n$ および
$y_1\geqq y_2\geqq\,\cdots \,\geqq y_n$ を満足する数列 $x_1$ ， $x_2$ ，…， $x_n$ および $y_1$ ， $y_2$ ，…， $y_n$ が与えられている． $y_1$ ， $y_2$ ，…， $y_n$ を並べかえて得られるどのような数列 $z_1$ ， $z_2$ ，…， $z_n$ に対しても
$\displaystyle\sum_{j=1}^{n} (x_j-y_j)^2 \leqq \displaystyle\sum_{j=1}^{n} (x_j-z_j)^2$
が成り立つことを証明せよ．