2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記

[解答]

$\rm A,B$ を通る2次以下の関数は $y=a(x^2-1)-x$ である．

(i) の条件をみたすとき， $a\neq 0$ で，頂点の座標は $\Bigl(\dfrac{1}{2a},-\dfrac{4a^2+1}{4a}\Bigr)$ であるから，
$|4a^2+1|\geqq |4a|\Longleftrightarrow |a|\leqq\dfrac{1}{2}$
をみたす．つまり $\rm P$ の範囲は $y=a(x^2-1)-x$ の $0\lt |a|\leqq\dfrac{1}{2}$ の通過範囲のうち $|x|\lt 1$ をみたす部分である．

(ii) の条件をみたすとき， $a=0$ で， $y=a(x^2-1)-x=-x$ の $|x|\leqq1$ をみたす部分である．

よって両方をあわせると， $y=a(x^2-1)-x$ の $0\leqq |a|\leqq\dfrac{1}{2}$ の通過範囲のうち $|x|\leqq 1$ をみたす部分であり，
$\dfrac{1}{2}(x^2-1)-x\leqq y\leqq -\dfrac{1}{2}(x^2-1)-x$
となる．

この部分の面積は6分の1公式により $\dfrac{4}{3}$ である．

注) (i) の領域では $\rm A,B$ は含まれないが，(ii) で含むように設定してある．