[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021年(令和3年)東京大学-数学(文科)[2]

[2]

$N$ を $5$ 以上の整数とする． $1$ 以上 $2N$ 以下の整数から，相異なる $N$ 個の整数を選ぶ．ただし $1$ は必ず選ぶこととする．選んだ数の集合を $S$ とし， $S$ に関する以下の条件を考える．

条件1: $S$ は連続する $2$ 個の整数からなる集合を1つも含まない．

条件2: $S$ は連続する $N-2$ 個の整数からなる集合を少なくとも1つ含む．

ただし, $2$ 以上の整数 $n$ に対して，連続する $k$ 個の整数からなる集合とは，ある整数 $l$ を用いて $\{l,l+1,\ldots\ldots,l+k-1\}$ と表される集合を指す．例えば $\{1,2,3,5,7,8,9,10\}$ は連続する $3$ 個の整数からなる集合 $\{1,2,3\}$ , $\{7,8,9\}$ , $\{8,9,10\}$ を含む．

(1) 条件1を満たすような選び方は何通りあるか．

(2) 条件2を満たすような選び方は何通りあるか．

2021.03.02記

[解答]

○を $N$ 個，●を $N$ 個並べて，○がある番目の数字を選び，その集合を $S$ とする．

(1) 最初が○であり，○が続けて並ばない並べ方の総数に等しい．これは最初に ○を $n$ 個，●を $n-1$ 個交互に並べた後に1つの「○」を「○●」に置き換える場合の数に等しいので $N$ 通り．

(2) $N\geqq 5$ であるから， $N-2$ は $1$ とも $2$ とも異なるので，以下の場合分けは全て異なる状況である．

(i) ○が $N$ 連続するとき、最初が○だから1通り

(ii) ○が $N-1$ 連続（□とする）して $N$ 連続しないとき、
□，○の一方を先に並べ，次に●を並べ，□，○の残りと● $N-1$ 個を並べるので，合計 $2N$ 通り

(iii) ○が $N-2$ 連続（△とする）して $N-1$ 連続しないとき、

(a) 残りの2個の○が連続（☆）するとき
△，☆の一方を先に並べ，次に●を並べ，△，☆の残りと● $N-1$ 個を並べるので，合計 $2N$ 通り

(b) 残りの2個の○が連続しないとき
△，○，○のうちの1つを先に並べ，次に●を並べ，その後に△，○，○の残り2個と● $N-1$ 個を並べるが，△，○，○の残り2個と● $N-2$ 個を並べて△，○，○の残り2個のうち先にきたものの後に●を挿入すると考えると， $3\times {}_N\mbox{C}_2$ 通り

よって求める場合の数は
$1+2N+2N+3\times {}_N\mbox{C}_2$ $=\dfrac{3N^2+5N+2}{2}$ $=\dfrac{(N+1)(3N+2)}{2}$