[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[1]

$a$ を正の実数とする．座標平面上の曲線 $C$ を $y=ax^3-2x$ で定める．原点を中心とする半径 $1$ の円と $C$ の共有点の個数が $6$ 個であるような $a$ の範囲を求めよ．

2021.03.02記

[解答]

$x^2+y^2=1$ に $y=ax^3-2x$ を代入して $x^2=X$ とおくと
$f(X):=a^2X^3-4aX^2+5X-1=0$
となる．この3次以下の方程式が $X\gt 0$ の範囲に3つの実数解をもてば良い．

$f'(X)=3a^2X^2-8aX+5$ は $a\leqq 0$ のとき $X\geqq 0$ で常に正であるから $X\gt 0$ の範囲に3つの実数解をもつことはない．よって $a\lt 0$ である．

このとき，増減表は次のようになる．

よって求める条件は
$f\Bigl(\dfrac{1}{a}\Bigr)\gt 0$ かつ $f\Bigl(\dfrac{5}{3a}\Bigr)\gt 0$
となり，これを解いて $\dfrac{50}{27}\lt a\lt 2$