2024年(令和6年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[1] 座標平面上で，放物線 $C:y=ax^2+bx+c$ が2点 $\mbox{P}(\cos\theta,\sin\theta)$ ， $\mbox{Q}(-\cos\theta,\sin\theta)$ を通り，点 $\mbox{P}$ と点 $\mbox{Q}$ のそれぞれにおいて $x^2+y^2=1$ と共通の接線を持っている．
ただし， $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ とする．

(1) $a，b，c$ を $s=\sin\theta$ を用いて表せ．

(2) 放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $A$ を $s$ を用いて表せ．

(3) $A\geqq\sqrt{3}$ を示せ．

2024.02.28記

[解答]
$ax^2+bx+c=f(x)$ とおくと
$f(x)=a(x^2-\cos^2\theta)+\sin\theta$
とおくことができ，
$f'(\cos\theta)=2a\cos\theta=-\dfrac{1}{\tan\theta}$
から
$f(x)=-\dfrac{1}{2\sin\theta}(x^2-\cos^2\theta)+\sin\theta$
$=-\dfrac{1}{2s}x^2+\dfrac{1-s^2}{2s}+s$
$=-\dfrac{1}{2s}x^2+\dfrac{1}{2}\left(s+\dfrac{1}{s}\right)$
となるので $a=-\dfrac{1}{2s}$ ， $b=0$ ， $c=\dfrac{1}{2}\left(s+\dfrac{1}{s}\right)$ となる．

(2) $x$ 切片は $\pm\sqrt{s^2+1}$ により
$A=\dfrac{2}{3s}(s^2+1)^{\frac{3}{2}}$

(3) $A\gt 0$ より $A^2\geqq 3$ を示す．
$A^2=\dfrac{4}{9s^2}(s^2+1)^3$ …①
だから $A^2\geqq 3$ を示すには
$4s^6+12s^4-15s^2+4\geqq 0$
を示せば良い．ここで①で $s^2=\dfrac{1}{2}$ で等号が成立することから
$4s^6+12s^4-15s^2+4=(2s^2-1)^2(s^2+4)$
の因数分解に気付き，よって
$4s^6+12s^4-15s^2+4\geqq 0$
が成立する．

微分して $4t^3+12t^2-15t+4$ の $0\lt t\lt 1$ の最小値が非負であることを示すのが普通．