2024年(令和6年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[2] 以下の問いに答えよ．必要ならば， $0.3\lt \log_{10} 2 \lt 0.31$ であることを用いてよい．

(1) $5^n\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ．

(2) $5^m+4^m\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ．

2024.02.28記
$m$ が大きいとき， $5^m$ に比べて $4^m$ は小さいので $m$ は $n$ とほとんど同じ値になるはず（実際は等しくなる）．

[解答]
以下， $\log$ の底は10であるとする．

(1) $10^n\gt 2^{n}\cdot 10^{19}$ から $n\gt n\log 2 +19$ ，つまり
$n\gt \dfrac{19}{1-\log 2}$
となり，筆算から
$27<\dfrac{19}{0.7}=27.1\cdots\lt \dfrac{19}{1-\log 2}\lt \dfrac{19}{0.69}=27.5\cdots <28$
となるので $n=28$ となる．

(2) $\log 5^{27}=27\log 5 \lt 18.9 \lt 18+3\log 2$ より $5^{27}\lt 8\cdot 10^{18}$ であり，
$\log 4^{27}=54\log 2 \lt 16.74 \lt 17$ より $4^{27}\lt 10^{17}$ であるから，
$5^{27}+4^{27}\lt 9\cdot 10^{18}\lt 10^{19}$
である．(1) より
$5^{28}+4^{28}\gt 10^{19}$
であるから $m=28$ となる．

2024.03.26記

[解答]
以下， $\log$ の底は10であるとする．

(1) 略

(2) $\log 5^{27}=27\log 5 \lt 18.9 \lt 18+3\log 2$ より $5^{27}\lt 8\cdot 10^{18}$ であり， $\log 0.8^{27}=27(3\log 2-1)$ より $\log 0.8^{27} \lt -1.89\lt -1$ であるから， $0.8^{27} \lt 0.1$ である．
よって
$5^{27}+4^{27}=(1+0.8^{27})\cdot 5^{27}\lt 1.1\cdot 5^{27}\lt 8. 8\cdot 10^{18}\lt 10^{19}$
である．(1) より
$5^{28}+4^{28}\gt 10^{19}$
であるから $m=28$ となる．