[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)東京大学-数学(文科)

2024.02.28記

[1] 座標平面上で，放物線 $C:y=ax^2+bx+c$ が2点 $\mbox{P}(\cos\theta,\sin\theta)$ ， $\mbox{Q}(-\cos\theta,\sin\theta)$ を通り，点 $P$ と点 $Q$ のそれぞれにおいて $x^2+y^2=1$ と共通の接線を持っている．
ただし， $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ とする．

(1) $a，b，c$ を $s=\sin\theta$ を用いて表せ．

(2)放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $A$ を $s$ を用いて表せ．

(3) $A\geqq\sqrt{3}$ を示せ．

[2] 以下の問いに答えよ．必要ならば， $0.3\lt \log_{10} 2 \lt 0.31$ であることを用いてよい．

(1) $5^n\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ．

(2) $5^m+4^m\gt 10^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ．

[3] 座標平面上に2点 $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{A}(0,1)$ をとる． $x$ 軸上の2点 $\mbox{P}(p,0)$ ， $\mbox{Q}(q,0)$ が，次の条件(i)，(ii)をともに満たすとする．

(i) $0\lt p\lt l$ かつ $p\lt q$

(ii) 線分 $\mbox{AP}$ の中点を $\mbox{M}$ とするとき， $\angle\mbox{OAP}=\angle\mbox{PMQ}$

(1) $q$ を $p$ を用いて表せ．

(2) $q=\dfrac{1}{3}$ となる $p$ の値を求めよ．

(3) $\triangle\mbox{OAP}$ の面積を $S$ ， $\triangle\mbox{PMQ}$ の面積を $T$ とする． $S\gt T$ となる $p$ の範囲を求めよ．

[4] $n$ を5以上の奇数とする．平面上の点 $\mbox{O}$ を中心とする円をとり，それに内接する正 $n$ 角形を考える． $n$ 個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ．ただし，どの4点も等確率で選ばれるものとする．選んだ4点を頂点とする四角形が $\mbox{O}$ を内部に含む確率 $p_n$ を求めよ．

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