2024年(令和6年)早稲田大学理工学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.17記

[3] 点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を頂点とする四面体 $\mbox{OABC}$ を考える．辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{OB}$ ， $\mbox{OC}$ の中点をそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とし，辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ の中点をそれぞれ $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ とする．

(1) 辺 $\mbox{PS}$ ， $\mbox{QT}$ ， $\mbox{RU}$ が1点で交わることを示せ．

(2) $\mbox{OA}^2+\mbox{BC}^2$ $=\mbox{OB}^2+\mbox{CA}^2$ $=\mbox{OC}^2+\mbox{AB}^2$ のとき，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ が同一球面上にあることを示せ．

(3) (2)において，辺 $\mbox{PS}$ が辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{BC}$ と直交するとし，辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{BC}$ の長さをそれぞれ $a$ ， $k$ とする．点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ を頂点とする八面体の体積 $V$ を $a$ と $k$ を用いて表せ．

(4) [不備] (3) において， $k=1$ のとき八面体の体積 $V$ の最大値を求めよ．

2024.02.17記
設問(3)の「それぞれ」は「ぞれぞれ」と誤植していたそうです。

設問(4)に不備があります．
https://www.waseda.jp/fsci/assets/uploads/2024/02/20240217_ms1.pdf

[解答]
(1) $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OS}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})$ ， $\overrightarrow{\mbox{OT}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OA}})$ ， $\overrightarrow{\mbox{OU}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})$
であるから，辺 $\mbox{PS}$ ， $\mbox{QT}$ ， $\mbox{RU}$ の中点の位置ベクトルはいずれも
$\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})$
となるので，辺 $\mbox{PS}$ ， $\mbox{QT}$ ， $\mbox{RU}$ はそれらの中点で交わる．

(2) $\mbox{OA}^2+\mbox{BC}^2$ $=\mbox{OB}^2+\mbox{CA}^2$ $=\mbox{OC}^2+\mbox{AB}^2$ により
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OB}}$ $=\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}$ $=\overrightarrow{\mbox{OC}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OA}}$
が成立する．よって
$\mbox{PS}^2-\mbox{QT}^2$ $=(\overrightarrow{\mbox{PS}}+\overrightarrow{\mbox{QT}})\bullet (\overrightarrow{\mbox{PS}}-\overrightarrow{\mbox{QT}})$ $=\overrightarrow{\mbox{OC}}\bullet (\overrightarrow{\mbox{OB}}-\overrightarrow{\mbox{OA}})$ $=0$
から $\mbox{PS}=\mbox{QT}$ となり，同様に
$\mbox{QT}^2-\mbox{RU}^2$ $=\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet (\overrightarrow{\mbox{OC}}-\overrightarrow{\mbox{OB}})$ $=0$
から $\mbox{QT}=\mbox{RU}$ となる．

よって $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ は(1)の交点を中心とし，半径 $\dfrac{1}{2}\mbox{PS}=\dfrac{1}{2}\mbox{QT}=\dfrac{1}{2}\mbox{RU}$ の球面上にある．

(3) $\mbox{QU}\parallel\mbox{RT}\parallel\mbox{OA}$ ， $\mbox{QR}\parallel\mbox{UT}\parallel\mbox{AB}$ であり，(2) より
$\mbox{OA}\perp\mbox{BC}$ であるから，四角形 $\mbox{QRTU}$ は長方形であり，その面積は $\dfrac{ak}{4}$ となる．

辺 $\mbox{PS}$ が辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{BC}$ と直交するので
$V=\dfrac{1}{3}\cdot (長方形\mbox{QRTU})\cdot(\mbox{PS})$
が成立するが，(2) より $\mbox{PS}=\mbox{QT}$ は長方形 $\mbox{QRTU}$ の対角線の長さに等しいので
$\mbox{PS}=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+k^2}$
となる．よって
$V=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{ak}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+k^2}$ $=\dfrac{ak\sqrt{a^2+k^2}}{24}$
となる．

(4) $k=1$ のとき， $V=\dfrac{a\sqrt{a^2+1}}{24}$ は $a\to\infty$ で $+\infty$ に発散するので最大値は存在しない．

むしろ $\mbox{PS}=1$ のとき（つまり八面体が単位球面に内接するとき）の $V$ の最大値を求めよ，というのであれば問題として良くある感じとなる．この場合， $a^2+k^2=4$ だから $a=2\cos\theta$ ， $k=2\sin\theta$ とおくと
$V=\dfrac{\sin2\theta}{12}$ となり， $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ （ $\mbox{QRTU}$ が正方形のとき）に最大となる．