2024年(令和6年)早稲田大学理工学部-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.17記

[2] $n$ を自然数とし，数1，2，4を重複を許して $n$ 個並べてできる $n$ 桁の自然数全体を考える．そのうちで3の倍数となるものの個数を $a_n$ ，3で割ると1余るものの個数を $b_n$ ，3で割ると2余るものの個数を $c_n$ とする．

(1) $a_{n+1}$ を $b_n,c_n$ を用いて表せ．同様に， $b_{n+1}$ を $a_n,c_n$ を用いて， $c_{n+1}$ を $a_n,b_n$ を用いて表せ．

(2) $a_{n+2}$ を $n$ と $c_n$ を用いて表せ．

(3) $a_{n+6}$ を $n$ と $a_n$ を用いて表せ．

(4) $a_{6m+1}$ （ $m=0,1,2,…$ ）を $m$ を用いて表せ．

2024.02.17記

[解答]
(1) 桁を1つ増やしたときに3で割った余りが1増える場合の数は2倍，2増える場合の数は1倍，変わらない場合の数は0倍ある．

よって
$a_{n+1}=b_n+2c_n$ ，
$b_{n+1}=c_n+2a_n$ ，
$c_{n+1}=a_n+2b_n$
となる．

(2) $a_n+b_n+c_n=3^n$ に注意すると
$a_{n+2}=b_{n+1}+2c_{n+1}$ $=4a_n+4b_n+c_n$ $=4\cdot 3^n-3c_n$
となる．

(3) (2)と同様に
$b_{n+2}=4\cdot 3^n-3a_n$ ，
$c_{n+2}=4\cdot 3^n-3b_n$
が成立するので
$a_{n+6}=4\cdot 3^{n+4}-3c_{n+4}$
$=4\cdot 3^{n+4}-3\cdot 3^{n+2}+9b_{n+2}$
$=4\cdot 3^{n+4}-4\cdot 3^{n+3}+4\cdot 3^{n+2}-27a_{n}$
$=28\cdot 3^{n+2}-27a_{n}$

(4) $a_{6m+1}=A_{m+1}$ （ $m=0,1,2,…$ ）とおくと(3) より
$a_{(6m+1)+6}=28\cdot 3^{(6m+1)+2}-27a_{(6m+1)}$
だから， $K=27$ とおくと
$A_{m+2}=(K+1)\cdot K^{2m+1}-KA_{m+1}$
となる．これから
$A_{m+3}=(K+1)\cdot K^{2m+3}-KA_{m+2}$ ，
$K^2A_{m+2}=(K+1)\cdot K^{2m+2}-K^3A_{m+1}$
が成立し，よって
$A_{m+3}=(-K+K^2)A_{m+2}+K^3A_{m+1}$
が成立するので，
$A_m=p(K^2)^{m}+q(-K)^{m}$
の形をしていることがわかる．

ここで $a_1=0$ から $A_0=0$ であり， $A_1=(K+1)\cdot K^{-1}-KA_{0}$ $=(K+1)\cdot K^{-1}$ であるから
$p+q=0$ ， $K^2p-Kq=(K^2+K)p=(K+1)\cdot K^{-1}$ から $p=\dfrac{1}{K^2}=-q$ となるので，
$A_m=(K^2)^{m-1}-(-K)^{m-1}$
となる．よって
$a_{6m+1}=A_{m+1}=(K^2)^{m}-(-K)^{m}$ $=3^{6m}-(-3)^{3m}$