2024-03-25

2024年(令和6年)九州大学前期-数学III[4]

2024.03.25記

[4] $n$ を $3$ 以上の整数とする．座標平面上の点のうち， $x$ 座標と $y$ 座標がともに $1$ 以上 $3$ 以下の整数であるものを考える．これら $n^2$ 個の点のうち $3$ 点以上を通る直線の個数を $L(n)$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $L(3)$ を求めよ．

(2) $L(4)$ を求めよ．

(3) $L(5)$ を求めよ．

本問のテーマ

（一般化すると）Farey 数列（の話ができる）

2024.03.25記(2024/03/25/110831)
考えるな，数えろ．

[解答]
(1) 水平3本，垂直3本，ななめ45度2本の合計8本で $L(3)=8$

(2) 水平4本，垂直4本，ななめ45度6本の合計14本で $L(4)=14$

(3) 水平5本，垂直5本，ななめ45度10本，傾き1/2 または 2 が12本で $L(4)=32$

きっと誰かがどこかで，一般の $n$ についての個数に関する記事を書くに違いない．

例えば， $n=9，10$ のとき，直線の傾きとして考えるものは
$0，\dfrac{1}{4}，\dfrac{1}{3}，\dfrac{1}{2}，\dfrac{2}{3}，\dfrac{3}{4}，1$
とその逆数の13種類について考える． $2m+1，2m+2$ で登場する傾きは

Farey数列 $F_m$ とその逆数となる．
ファレイ数列 - Wikipedia

2024-03-25

2024年(令和6年)九州大学前期-数学III[3]

2024.03.25記

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) 自然数 $a$ ， $b$ が $a\lt b$ をみたすとき， $\dfrac{b!}{a!}\geqq b$ が成り立つことを示せ．

(2) $2\cdot a!=b!$ をみたす自然数の組 $(a，b)$ をすべて求めよ．

(3) $a!+b!=2\cdot c!$ をみたす自然数の組 $(a，b，c)$ をすべて求めよ．

2024.03.25記(2024/03/25/103641)

[解答]
(1) $a\leqq b-1$ であるから， $\dfrac{b!}{a!}\geqq \dfrac{b!}{(b-1)!}=b$ である．

(2) 自然数の階乗は正の値をとり， $2\cdot a!=b!$ より $b\gt a(\geqq 1)$ だから，(1) より
$2=\dfrac{b!}{a!}\geqq b\gt 1$
となり， $b=2$ ， $a=1$ となる．よって $(a，b)=(1，2)$ のみである．

(3) (i) $a=b$ の場合： $2\cdot a!= 2\cdot c!$ により $a=c$ となり
$(a，b，c)$ $=(n，n，n)$ （ $n$ は任意の自然数）

(ii)
$a\lt b$ の場合： $2\cdot a!\lt a!+b!\lt 2\cdot b!$ であるから
$2\cdot a!\lt c!\lt 2\cdot b!$
が成立する．よって(1)と $c\leqq \dfrac{c!}{b!} \lt 2$ となるので $c=1$ となり
$2\cdot a!\lt 1$
なる自然数 $a$ は存在しない．

$a\lt b$ の場合：同様に存在しない。

以上から，
$(a，b，c)$ $=(n，n，n)$ （ $n$ は任意の自然数）

2024-03-25

2024年(令和6年)九州大学前期-数学III[2]

2024.03.25記

[2] 整式 $f(z)=z^6+z^4+z^2+1$ について，以下の問いに答えよ．

(1) $f(z)=0$ をみたすすべての複素数 $z$ に対して， $|z|=1$ が成り立つことを示せ．

(2) 次の条件をみたす複素数 $w$ をすべて求めよ．

条件： $f(z)=0$ をみたすすべての複素数 $z$ に対して $f(wz)=0$ が成り立つ．

2024.03.25記(2024/03/25/100133)

[解答]
(1) $f(z)=0$ ならば $(z^2-1)f(z)=z^8-1=0$ が成り立つので $|z|=1$ が成り立つ．

(2) 6次方程式 $f(z)=0$ の解は $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくと，(1)より $8\theta$ が $2\pi$ の整数倍で $z\neq \pm1$ であるから，
$\theta=\dfrac{k}{4}\pi$ （ $k=1,2,3,5,6,7$ ）
の6つである．この6個の複素数を同じ6個の複素数に移すような原点中心の回転拡大は，正8角形の連続する3つの頂点がどこに移るかを考えれば恒等変換か180度回転に限ることがわかるので $w=1,-1$ の2つである．

2024-03-25

2024年(令和6年)九州大学前期-数学III[1]

2024.03.25記

[1] $a$ を実数とし，座標空間内の $3$ 点 $\mbox{P}(-1，1，-1)$ ， $\mbox{Q}(1，1，1)$ ， $\mbox{P}(a，a^2，a^3)$ を考える．以下の問いに答えよ．

(1) $a\neq 1$ ， $a\neq -1$ のとき， $3$ 点 $\rm P$ ， $\rm Q$ ， $\rm R$ は一直線上にないことを示せ．

(2) $a$ が $-1\lt a\lt 1$ の範囲を動くとき，三角形 $\rm PQR$ の面積の最大値を求めよ．

2024.03.25記(2024/03/25/230421)

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=(2，0，2)^{\top}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PR}}=(a+1，a^2-1，a^3+1)^{\top}$ であるから，
$\overrightarrow{\mbox{PR}}\times \overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=2(a^2-1)(1,a,-1)^{\top}$
となる．よって
$\triangle\rm PQR$ $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mbox{PR}}\times\overrightarrow{\mbox{PQ}}|$ $=|a^2-1|\sqrt{2+a^2}$
が成立する．

(1) $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が同一直線上にあることと $\triangle\rm PQR=0$ は同値であり，それは $a^2\neq 1$ と同値である．よって題意は示された．

(2) $\triangle\rm PQR^2$ $=(a^2-1)^2(a^2+2)$ は $a^2$ についての3次関数であり，3次関数の形状から $0\leqq a^2\lt 1$ において $a^2=0$ のときに最大値 $2$ をとる．よって $\triangle\rm PQR$ の最大値は $\sqrt{2}$ である．

2024-03-24

2024年(令和6年)一橋大学-数学[3]

2024.03.24記

[3] $f(x)$ は $x$ に関する $4$ 次多項式で $4$ 次の係数は $1$ である． $f(x)$ は $(x+1)^2$ で割ると $1$ 余り， $(x-1)^2$ で割ると $2$ 余る． $f(x)$ を求めよ．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）
エルミート補間
部分分数分解
ヘビサイドの cover up 法

2024.03.24記
$f(a)$ ， $f’(a)$ ， $f’’(a)$ ，…， $f(b)$ ， $f'(b)$ ， $f’’(b)$ ，…，
の値から，この条件をみたす多項式関数を求める方法としてエルミート補間がある．

ただ本問はエルミート補間公式を使うまでもないし，エルミート補間公式を覚えるよりも部分分数分解を利用してヘビサイドのカバーアップ法と結びつける法が良いだろう．

本問は条件が簡単なので，これらの一般的はことを考える必要はなく，3次関数の箱（4等分×2等分）で簡単に求まる．

3次関数の箱（4等分×2等分）

[解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

$g(x)$ を求めるには，2×4 の分割（と $\sqrt{3}$ の関係）を考えると
$g(x)=-\dfrac{1}{4}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+\dfrac{3}{2}$ $=-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$
となるので
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

2024.03.25記

部分分数分解

$g(x)$ を未知数を利用して設定するには，部分分数分解
$\dfrac{g(x)}{(x+1)^2(x-1)^2}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ $+\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}$
の分母を払った
$g(x)$ $=A(x+1)(x-1)^2$ $+B(x-1)^2$ $+C(x+1)^2(x-1)$ $+D(x+1)^2$
を利用すれば良い．

[大人の解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

$g(x)=A(x+1)(x-1)^2$ $+B(x-1)^2$ $+C(x+1)^2(x-1)$ $+D(x+1)^2$
とおくと，
$g(-1)=4B$ より $B=\dfrac{1}{4}$ ，
$g(1)=4D$ より $D=\dfrac{1}{2}$
である．また
$g'(x)=A(x-1)^2+2A(x+1)(x-1)$ $+2B(x-1)$ $+2C(x+1)(x-1)+C(x+1)^2$ $+2D(x+1)$
により
$g'(-1)=4A-4B$ より $A=\dfrac{1}{4}$ ，
$g'(1)=4C+4D$ より $C=-\dfrac{1}{2}$
であるから，
$g(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)^2$ $+\dfrac{1}{4}(x-1)^2$ $-\dfrac{1}{2}(x+1)^2(x-1)$ $+\dfrac{1}{2}(x+1)^2$
$=\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$
となる．よって
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1+\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

ヘビサイドの cover up 法

部分分数分解の係数はヘビサイドの coover up 法で求めることができるので，これを用いると

[大人の解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

$\dfrac{g(x)}{(x+1)^2(x-1)^2}$ $=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$ $+\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}$
とおくと
$B=\dfrac{g(x)}{(x-1)^2}\Big|_{x=-1}=\dfrac{1}{4}$ ，
$D=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}\Big|_{x=1}=\dfrac{1}{2}$
であり，
$A=\dfrac{1}{1!}\left(\dfrac{g(x)}{(x-1)^2}\right)'\Big|_{x=-1}$
$=\dfrac{g'(x)(x-1)-2g(x)}{(x-1)^3}\Big|_{x=-1}$ $=\dfrac{1}{4}$ ，
$C=\dfrac{1}{1!}\left(\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}\right)'\Big|_{x=1}$
$=\dfrac{g'(x)(x+1)-2g(x)}{(x+1)^3}\Big|_{x=1}$ $=-\dfrac{1}{2}$
であるから，
$g(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)^2$ $+\dfrac{1}{4}(x-1)^2$ $-\dfrac{1}{2}(x+1)^2(x-1)$ $+\dfrac{1}{2}(x+1)^2$
$=\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$
となる．よって
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1+\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

のようになる．

エルミート補間

一般に，3次式 $g(x)$ について $g(a)$ ， $g’(a)$ ， $g(b)$ ， $g'(b)$ が与えられたとき
$\dfrac{g(x)}{(x-a)^2(x-b)^2}$ $=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$ $+\dfrac{C}{x-b}+\dfrac{D}{(x-b)^2}$
とおくと
$B=\dfrac{g(x)}{(x-b)^2}\Big|_{x=a}=\dfrac{g(a)}{(a-b)^2}$ ，
$D=\dfrac{g(x)}{(x-a)^2}\Big|_{x=b}=\dfrac{g(b)}{(b-a)^2}$
であり，
$A=\dfrac{g'(x)(x-b)-2g(x)}{(x-b)^3}\Big|_{x=a}$ $=\dfrac{g'(a)(a-b)-2g(a)}{(a-b)^3}$
$C=\dfrac{g'(b)(b-a)-2g(b)}{(b-a)^3}$
となるので，
$g(x)$ $=\dfrac{g'(a)(a-b)-2g(a)}{(a-b)^3}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{x-a}$ $+\dfrac{g(a)}{(a-b)^2}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{(x-a)^2}$ $+\dfrac{g'(b)(b-a)-2g(b)}{(b-a)^3}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{x-b}$ $+\dfrac{g(b)}{(b-a)^2}\cdot\dfrac{(x-a)^2(x-b)^2}{(x-b)^2}$
$=g'(a)\left\{(x-a)\cdot \dfrac{(x-b)^2}{(a-b)^2}\right\}$ $+g(a)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-a}{b-a}\right)\cdot\dfrac{(x-b)^2}{(a-b)^2}\right\}$
$+g'(b)\left\{(x-b)\cdot \dfrac{(x-a)^2}{(b-a)^2}\right\}$ $+g(b)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-b}{a-b}\right)\cdot\dfrac{(x-a)^2}{(b-a)^2}\right\}$
となる．

[大人の解答]
$g(-1)=1$ ， $g’(-1)=0$ ， $g(1)=2$ ， $g'(1)=0$ をみたす3次式以下の多項式 $g(x)$ に対して
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$
が求める多項式となる．

エルミート補間公式により
$g(x)$ $=g'(-1)\left\{(x+1)\cdot \dfrac{(x-1)^2}{(-2)^2}\right\}$ $+g(-1)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x+1}{2}\right)\cdot\dfrac{(x-1)^2}{(-2)^2}\right\}$
$+g'(1)\left\{(x-1)\cdot \dfrac{(x+1)^2}{2^2}\right\}$ $+g(1)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-1}{-2}\right)\cdot\dfrac{(x+1)^2}{2^2}\right\}$
$=\dfrac{(x+2)(x-1)^2}{4}$ $+\dfrac{(2-x)(x+1)^2}{2}$
$=\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$
となる．よって
$f(x)=(x+1)^2(x-1)^2+g(x)$ $=x^4-2x^2+1+\dfrac{1}{4}(-x^3+3x+6)$ $=x^4-\dfrac{x^3}{4}-2x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$
となる．

良くある出題は「 $x=a$ で極大」のような設定であり，与えられた $f'$ の値が全て0となることが多く，その場合は単純に
$g(x)$ $=g(a)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-a}{b-a}\right)\cdot\dfrac{(x-b)^2}{(a-b)^2}\right\}$ $+g(b)\left\{\left(1+2\cdot\dfrac{x-b}{a-b}\right)\cdot\dfrac{(x-a)^2}{(b-a)^2}\right\}$
となるが，もちろん覚える必要はない．

2024-03-24

2024年(令和6年)名古屋大学-数学[4]

2024.03.24記

不完全ベータ関数（ベータ関数の積分区間を $[0,1]$ から $[0,\alpha]$ に拡張したもの），
Clopper-Pearsonの信頼区間

#統計名古屋大学2024前期理系大問4の(2)の問題の出し方はちょっと意地悪になっていて、kの関数ではなく、pの関数として扱った方が多分証明は楽です。

繰り返しになりますが、これは、二項分布とベータ分布の関係を与える応用上重要な公式です。 https://t.co/NJk2XWzdsI pic.twitter.com/FEcP4k2fRl
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) 2024年3月19日

2024-03-01

2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[3]

2024.02.29記

[3] 座標平面上の円 $D_1=x^2+y^2=64$ と円 $D_2=x^2+(y-4)^2=9$ に関して，以下の設問に答えよ．

(1) 座標平面上の3点 $(0,8)$ ， $(3\sqrt{7},1)$ ， $(-3\sqrt{7},1)$ を頂点とする三角形の外接円は $D_1$ であり，内接円は $D_2$ であることを示せ．

(2) $D_1$ が外接円であり，さらに $D_2$ が内接円である任意の三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ に対して，実数 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を
$\alpha=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{BC}$ ，
$\beta=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{CA}$ ，
$\gamma=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{AB}$
と定める．このとき $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105$ が成り立つことを示せ．

本問のテーマ

ポンスレの定理
ヘロンの公式

2024.03.01記
(1) より， $D_1$ 上の任意の点 $A$ から $D_2$ に接線を引き，その接線と $D_1$ の交点を $B$ とし， $B$ から $D_2$ に接線を引き，その接線と $D_1$ の交点を $C$ とすると， $C$ から $D_2$ に接線を引くと，その接線と $D_1$ の交点は $A$ に戻るというのがポンスレの定理である．本問を解くには不要の知識ではある．

$\alpha$ などを見てヘロンの公式を思い浮べないとね．

[解答]
(1) $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{P}(0,8)$ ， $\mbox{Q}(3\sqrt{7},1)$ ， $\mbox{R}(-3\sqrt{7},1)$ とおくと
$\mbox{OP}^2=\mbox{OQ}^2=\mbox{OR}^2=64$
と等しいので， $\triangle\rm PQR$ の外接円は $D_1$ である．

直線 $\mbox{PQ}:\sqrt{7}x+3y-24=0$ と $(0,4)$ の距離は $\dfrac{12}{\sqrt{16}}=3$ ，
直線 $\mbox{PR}:-\sqrt{7}x+3y-24=0$ と $(0,4)$ の距離は $\dfrac{12}{\sqrt{16}}=3$ ，
直線 $\mbox{QR}:y=1$ と $(0,4)$ の距離は $3$
と等しいので， $\triangle\rm PQR$ の内接円は $D_2$ である．

(2) $c=\mbox{AB}=\alpha+\beta$ ， $a=\mbox{BC}=\beta+\gamma$ ， $b=\mbox{CA}=\gamma+\alpha$ ， $s=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}=\alpha+\beta+\gamma$ ， $\triangle\mbox{ABC}$ の面積を $S$ とおく．

ヘロンの公式により $S=\sqrt{s\alpha\beta\gamma}$ である．

内接円と面積の関係により $S=s\cdot 3$ である．

外接円と面積の関係により $S=\dfrac{abc}{4\cdot 8}$ である．

よって
$S^2=s\alpha\beta\gamma=9s^2$ ，
$S=3s=\dfrac{abc}{4\cdot 8}$ ，
つまり
$\alpha\beta\gamma=9(\alpha+\beta+\gamma)$ ，
$96(\alpha+\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$
が成立する．

ここで
$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)+\alpha\beta\gamma$ $=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
に注意すると
$(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$ $=96(\alpha+\beta+\gamma)+9(\alpha+\beta+\gamma)$ $=105(\alpha+\beta+\gamma)$
となり， $\alpha+\beta+\gamma\neq 0$ から
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105$
となる．