[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021年(令和3年)九州大学前期-数学(理系)[5]

[5]

以下の問いに答えよ．

(1) 自然数 $n.k$ が $2\leqq k\leqq n-2$ をみたすとき， ${}_n\mbox{C}_k\gt n$ であることを示せ．

(2) $p$ を素数とする． $k\leqq n$ をみたす自然数の組 $(n,k)$ で ${}_n\mbox{C}_k=p$ となるものをすべて求めよ．

2021.03.17記

[解答]

(1) $2\leqq k\leqq n-2$ であるから， $2〜k$ までの $k-1$ 個の積よりも，
$n-k+1〜n-1$ までの $k-1$ 個の積の方が大きい．

よって ${}_{k}\mbox{P}_{k-1}\lt {}_{n-1}\mbox{P}_{k-1}$ ，すなわち $k!\lt {}_{n-1}\mbox{P}_{k-1}$ が成立するので，

${}_n\mbox{C}_k=\dfrac{{}_{n}\mbox{P}_{k}}{k!}=n\times\dfrac{{}_{n-1}\mbox{P}_{k-1}}{k!}\gt n$

(2) (i) $k=1,n-1$ のとき ${}_n\mbox{C}_k=n=p$ より $(n,k)=(p,1)，(p,p-1)$

(ii) $2\leqq k\leqq n-2$ のとき
(a) $n\geqq p$ とすると(1)より ${}_n\mbox{C}_k\gt n\geqq p$ より不適．
(b) $n\lt p$ とすると ${}_n\mbox{C}_k$ の計算には $p$ 未満の正の整数のかけ算と割り算からなるので，その結果に素数 $p$ は登場しないので ${}_n\mbox{C}_k=p$ になることはない．

以上から， $(n,k)=(p,1)，(p,p-1)$

${}_n\mbox{C}_k$ が $p$ の倍数となる必要十分条件はKummer の定理により $p$ 進数の足し算 $n=(n-k)+k$ において繰り上がりが丁度1回となることである．

Kummer の定理については
二項係数は2で何回割れるか - 球面倶楽部零八式 mark II
などを参照．

Kummer の定理で $p$ の倍数である条件を導いても，Kummer の定理は商について何も言わないので、それが $p$ であることを示すには、二項係数の値が $p$ より大きくないことを言わないといけないので，結局は (1) の ${}_n\mbox{C}_k\gt n$ を用いるのが簡明となる．

[大人の解答]

${}_n\mbox{C}_k$ が $p$ の倍数のとき，Kummer の定理により $p$ 進数の足し算 $n=(n-k)+k$ において繰り上がりが生ずるので $n\geqq p$ である．

$n\gt p$ とすると ${}_n\mbox{C}_k$ の値は「 $1$ 」または「 $n$ 以上」となるので（証明は[解答]と同じ），これが $p$ となることはない．

よって $n=p$ であり， ${}_p\mbox{C}_k=p$ となるのは $(n,k)=(p,1)，(p,p-1)$ のとき

Kummer の定理を使っても、それほど楽になってない．