2021年(令和3年)九州大学後期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3]

実数 $a$ は $a\gt 1$ とする．曲線 $y=e^x$ と直線 $y=a-1$ ，直線 $y=a$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに一回転させて得られる立体の体積を $V(a)$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $V(a)$ を求めよ．

(2) $V(a)$ を最小とする $a$ の値を求めよ．

(3) 次の極限を求めよ．
$\displaystyle\lim_{a\to\infty}(V(a)-V(a-1))$
必要ならば $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0$ を証明なしで用いてよい．

2021.03.17記

[解答]

(1) 立体の $y=t$ における断面積は
$S(t)=\pi |\log t|^2=\pi (\log t)^2$
であるから，
$V(a)=\displaystyle\int_{a-1}^a S(t)dt$ $=\pi \displaystyle\int_{a-1}^a (\log t)^2 dt$
である． $x=e^u$ と置換すると $dx=e^u du$ であり，
$V(a)=\pi \displaystyle\int_{\log(a-1)}^{\log a } u^2 e^u du$
$=\pi \Bigl[ (u^2-2u+2)e^{u}\Bigl]_{\log(a-1)}^{\log a }$
$=\pi[ a\{(\log a)^2-2\log a+2\}-(a-1)\{(\log (a-1))^2-2\log(a-1)+2\}]$

(2) $V'(a)=S(a)-S(a-1)=\pi[(\log a)^2-\{\log (a-1)\}^2]$
$=\pi \log a(a-1) \times \log\dfrac{a}{a-1}$ となる．

ここで， $\dfrac{a}{a-1}=1+\dfrac{1}{a-1}\gt 1（∵a\gt 1）$ より $\log\dfrac{a}{a-1}\gt 0$ であり，
$\log a(a-1)\gt 0\Longleftrightarrow a^2-a-1\gt 0$
$\Longleftrightarrow a\gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}（∵a\gt 1）$
だから
$V'(a)\gt 0\Longleftrightarrow a\gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
となり，同様に
$V'(a)\lt 0\Longleftrightarrow 1\lt a\lt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
となる．よって増減表（略）から
$a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ で極小かつ最小となる．