2002年(平成14年)京都大学前期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.18記

[4] (1) $x\geqq 0$ で定義された関数 $f(x)=\log (x+\sqrt{1+x^2})$ について，導関数 $f'(x)$ を求めよ．

(2) 極方程式 $r=\theta$ （ $\theta\geqq 0$ ）で定義される曲線の， $0\leqq \theta\leqq \pi$ の部分の長さを求めよ．

2020.09.18記
双曲線関数

極座標の曲線の長さは $\int\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}d\theta$

(1) $y=f(x)$ とおくと $x=\sinh y$ だから， $dx=\cosh y \,dy$ となり
$f'(x)=\dfrac{dy}{dx}$ $=\dfrac{1}{\cosh y}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{1+\sinh^2 y}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

(2) $l=\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{\theta^2+1}d\theta$ であり，
$\theta=\sinh t$ （ $d\theta=\cosh t\,dt$ ）と置換すると
$\sinh \alpha=\pi$ なる $\alpha=f(\pi)$ を用いて
$l=\displaystyle\int_0^{\alpha} \cosh^2 t\,dt$ $=\displaystyle\int_0^{\alpha}\dfrac{\cosh 2t+1}{2} \,dt$ $=\Bigl[ \dfrac{\sinh 2t}{4}+\dfrac{t}{2}\Bigr]_0^{\alpha}$ $=\Bigl[ \dfrac{\sinh t\cosh t}{2}+\dfrac{t}{2}\Bigr]_0^{\alpha}$ $=\dfrac{\sinh \alpha\cosh \alpha}{2}+\dfrac{\alpha}{2}$ $=\dfrac{\pi\sqrt{1+\pi^2}}{2}+\dfrac{\log(\pi+\sqrt{1+\pi^2})}{2}$