2006年(平成18年)山形大学前期-数学(医学部)[x] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

$n$ 個の実数 $a_1，a_2，\ldots ，a_n$ が
$a_1\geqq a_2\geqq \cdots \geqq a_n\geqq 0$ ， $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=1$
を満たすとき、 $1\leqq l\leqq n$ であるすべての自然数 $l$ に対して、 $\dfrac{l}{n}\leqq \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k \leqq 1$ が成り立つことを示せ．

2021.01.08記
ローレンツ曲線(と同じ)．

$n$ 人のうち上位 $l$ 人の平均点は、全体の平均点以上になる．つまり、
$\dfrac{1}{l}\displaystyle\sum_{k=1}^l a_k \geqq \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=\dfrac{1}{n}$
が成立する．これから $\displaystyle\sum_{k=1}^l a_k \geqq \dfrac{l}{n}$ が成立する，というだけの話であるが，同じように考えると、
$n$ 人のうち下位 $l$ 人の平均点は、全体の平均点以下になる．

これは、 $b_k=a_{n+1-k}$ （逆順に並べかえ）とおくと、本問が

$n$ 個の実数 $b_1，b_2，\ldots ，b_n$ が
$b_n\geqq b_{n-1}\geqq \cdots \geqq b_1\geqq 0$ ， $\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k=1$
を満たすとき、 $1\leqq l\leqq n$ であるすべての自然数 $l$ に対して、 $0\leqq \displaystyle\sum_{k=1}^l b_k \leqq \dfrac{l}{n}$ が成り立つことを示せ．

と書き換えられることからもわかるだろう．この、 $\Bigl(\dfrac{l}{n}，\displaystyle\sum_{k=1}^l b_k\Bigr)$ （ $l=1,2,\ldots,n$ ）を描画したとき， $(0,0)$ とこの点列を結ぶ折れ線のことをローレンツ曲線と呼ぶ．

ローレンツ曲線は $y=x$ の下側にある下に凸な折れ線となることが知られており、本文は、（値が正であることは自明だから、）この点列が $y=x$ の下側にあることを示す問題となっている．

~~https://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/graph/graph12.html~~
(2021.10.07 総務省統計局のこのページはなくなったので、同じく総務省統計局のページに差し替えました)
www.stat.go.jp

ローレンツ曲線を所得にあてはめると、全員の所得が等しいとき、ローレンツ曲線は $y=x$ と一致し、所得の分布が極端であるほど、 $y=x$ よりも下にくる．
ローレンツ曲線と $y=x$ で囲まれた部分の面積の、 $y=x$ の下側の面積（ $(0,0)，(1,0)，(1,1)$ でできる三角形の面積）に占める割合をジニ係数と呼ぶ．
ジニ係数が0に近いほど公平で、1に近いほど不公平であるというような、不公平さを表す指標の1つとなっている．

なお、ジニ係数が0となるのは、全部が同じ値で、ジニ係数が最大になるのは、1つを除いて全てが0となる場合（ジニ係数が $1-\dfrac{1}{n}$ ）である．

（大人の解法）
$A_0=0，A_l=\displaystyle\sum_{k=1}^l a_k$ （ $l=1,2,\ldots,n$ ）とおくと、
$A_l$ は単調増加で $A_l\leqq A_n=1$ が成立する．

また、 $i$ を自然数として、 $A_{i-1}+A_{i+1}-2A_i=a_{i+1}-a_{i-1} \leqq 0$ だから，点列 $(l,A_l)$ （ $l=0,1,\ldots,n$ ）を結ぶ折れ線は上に凸となる．
よって $\dfrac{(n-l) A_0+ l A_n}{n} \leqq A_l$ ，すなわち $A_l\geqq\dfrac{l}{n}$ が成立する．

最後は、式で示したが、点列は $(0,A_0)=(0,0)$ と $(n,A_n)=(n,1)$ を結ぶ直線 $y=\dfrac{1}{n}x$ の上側（直線含む）にあるので
$A_l\geqq \dfrac{l}{n}$
としても良い．

まぁ、受験数学的には次のようにやる．

$n \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k \leqq k \sum_{k=1}^n a_k =1$ より $\dfrac{l}{n}\leqq \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k$ を示せば良い．

ここで $S_l=\dfrac{1}{l} \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k$ とおくと，示すべき式は $S_n\leqq S_l$ となるので， $S_l$ が単調減少であることを示せば良い．
$l(l+1)(S_{l+1}-S_l)=\displaystyle\sum_{k=1}^l (a_{k+1}-a_k)\leqq 0$ であるから題意は証明された．

もっと直接的に，添字を増やすと値が小さくなることを利用して、

$\displaystyle\sum_{k=1}^l a_k \leqq \sum_{k=1}^n a_k =1$ であり，

$n \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k = l \sum_{k=1}^l a_k + (n-l) \sum_{k=1}^l a_k$
$\geqq l \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k + (n-l)\times l\times a_{l+1}$
$\geqq l \displaystyle\sum_{k=1}^l a_k + l \sum_{k=l+1}^n a_k$
$=l \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = l$ から
$\displaystyle\sum_{k=1}^l a_k \geqq \dfrac{l}{n}$
である．

としても良いだろう． $a_1$ から $a_l$ の $l$ 個を $n$ 組用意して、そのうちの $n-l$ 組を添字を増やして $a_{l+1}$ から $a_n$ の $n-l$ 個を $l$ 組作ってやると値が小さくなって、 $a_1$ から $a_n$ の $n$ 個が $l$ 組できる、ということである．