[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)[1]

2024.02.28記

[1] 座標空間内の点 $\mbox{A}(0,-1,1)$ をとる． $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}$ が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．

(i) $\rm P$ は原点 $\rm O$ と異なる．

(ii) $\angle\mbox{AOP}\geqq \dfrac{2}{3}\pi$

(ii) $\angle\mbox{OAP}\leqq \dfrac{\pi}{3}$

$\mbox{P}$ がとりうる範囲を $xy$ 平面上に図示せよ．

2024.02.25記

[解答]
$\mbox{P}(x,y,0)$ とおくと
(i)より $x^2+y^2\neq 0$ である．

(ii)より $\dfrac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{2}}\leqq\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ ，つまり $y\geqq 0$ かつ $y^2\geqq x^2$ となり $y\geqq |x|$ である．

(iii)より $\dfrac{y+2}{\sqrt{x^2+(y+1)^2+1}\sqrt{2}}\geqq\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，つまり $y\geqq -2$ かつ $x^2+\dfrac{(y-1)^2}{\sqrt{3}^2}\leqq 1$ である．

よって， $|x|\leqq y\leqq \sqrt{3(1-x^2)}+1$ 但し原点を除く，となる．
（図示略）