2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[2]

2024.02.29記

[2] $x^{100}-3x^{10}-2x-1=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

本問のテーマ

[大人の解答]
$f(x)=x^{100}-3x^{10}-2x-1$ の符号変化は1回なので，デカルトの符号法則から $f(x)=0$ の正の実数解の個数は $1$ 個．

$g(x)=f(-x)=x^{100}-3x^{10}+2x-1$ の符号変化は3回なので，デカルトの符号法則から $f(x)=0$ の負の実数解の個数は $3$ 個か $1$ 個のいずれかであるが
$g(0)=-1\lt 0$ ，
$g\left(\dfrac{2}{3}\right)$ $=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}-3\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}+\dfrac{1}{3}$ $=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}+\dfrac{3^9-2^{10}}{3^9}\gt 0$ ，
$g(1)=-1\lt 0$ ，
$g(2)=2^{100}-3\cdot 2^{10}-5\gt 0$
より $3$ 個．
（注．2個見つければ自動的に3個になるので $g(2)$ の符号判定は不要）

以上から $4$ 個となる．

$g(x)$ について $|x|\lt 1$ なら $x^{100}$ ， $3\cdot x^{10}$ は $x$ に比べて十分小さくなることが期待できるので， $2x-1$ が正となる $|x|\lt 1$ を探せば良いので， $0.5$ より大きくて 1 に近すぎない $\dfrac{2}{3}$ を選んだという訳である．
（2024.03.24追記 $x=0.5+e$ とおくと
$g(0.5+e)\approx 0.5^{100}+100\cdot 0.5^{99}e-3(0.5^{10}+10\cdot 0.5^{9}e)+e\approx 0$
より
$(1-60\cdot 0.5^{10}+200\cdot 0.5^{100})e\approx 3\cdot 0.5^{10}- 0.5^{100}$
を $0.5^{100}\approx 0$ で近似すると
$(1-60\cdot 0.5^{10})e\approx 3\cdot 0.5^{10}$
となり
$e\approx \dfrac{3}{964}\approx 0.003112$
なので， $0.5$ よりもほんの少し大きければ $g(x)$ は正となる．

ちなみに $g(0.503122)=0.0031\cdots$ となる．これは1次近似(ニュートン法の第1段階のみで求めたもの)に過ぎないので誤差が多少ある．ホーナーの方法で求めると， $g(x)=0$ の $0\lt x \lt1$ なる解は $x\approx 0.50151$ となる．

また， $g'(x)=100x^{99}-30x^9+2=0$ から $x^{99}\approx 0$ として
$x^9\approx\dfrac{1}{15}$ （ほぼ0.74となるが，計算機なしにこれを知ることは難しい）
となるので，この近辺の値では $g(x)$ が正となることが期待できる．
$\log_{10} 0.75^{9} = 9(0.4771-0.6020)=-1.1241$ ，
$\log_{10} \dfrac{1}{15} = \log_{10} \dfrac{2}{30} = 0.3010-0.4771-1=-1.1761$ ，
$\log_{10} \dfrac{2}{3}^{9} = 9(0.3010-0.4771)=-1.5849$
であるから，近似値を使っているので正確ではないが，ほぼ
$\dfrac{2}{3}\lt x\lt\dfrac{3}{4}$
を満たしていそうなことがわかる．）

2024.03.01記

[解答]
$p(x)=x^{100}-3x^{10}-2x-1$ とおくと $p''(x)=90x^8(110x^{90}-3)$
だから， $p''(x)=0$ なる $x$ は $\beta=\left(\dfrac{3}{110}\right)^{\frac{1}{90}}$ とおくと
$-\beta，0，\beta$
である．ここで $x=0$ では符号変化しないので変曲点の $x$ 座標は
$x=-\beta，\beta$
の2つとなり，これから凹凸を考えると W 型となり， $p(x)=0$ なる $x$ は高々4つ．

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}p(x)=+\infty$ ，
$p(-1)=-1$ ，
$p\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ $=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}-3\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}+\dfrac{1}{3}$ $=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{100}+\dfrac{3^9-2^{10}}{3^9}\gt 0$ ，
$p(0)=-1$ ，
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}p(x)=+\infty$
により中間値の定理から $p(x)=0$ なる $x$ は少なくとも4つ．