2018年(平成30年)浜松医科大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.12.11記

[4] 定数 $a，b，c$ を用いて，数列 $\{S_n\}$ を
$S_n=a^n+b^n+c^n$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）
により定める．

(1) 恒等式
$(x-a)(x-b)(x-c)$ $=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$
を用いて $S_{n+3}$ ， $S_{n+2}$ ， $S_{n+1}$ ， $S_{n}$ が満たす漸化式を求めよ．

(2) $a+b+c=0$ ， $abc\neq 0$ のとき，
$\dfrac{S_2S_3}{S_5}$ ， $\dfrac{(S_2)^2S_3}{S_7}$ ， $\dfrac{S_2S_5}{S_7}$
のそれぞれの値を求めよ．

(3) (2)で求めた3つの値に共通してあてはまる規則を1つ挙げよ．

2022.12.11記
Todo：調べておこう[解決] - 球面倶楽部零八式 mark II
調べたけど砂漠でプレートを探すようなものだ（解決済） - 球面倶楽部零八式 mark II
から
$\dfrac{S_2S_3}{S_5}=\dfrac{2\times 3}{5}=\dfrac{6}{5}$ ， $\dfrac{(S_2)^2S_3}{S_7}=\dfrac{2^2\times 3}{7}=\dfrac{12}{7}$ ， $\dfrac{S_2S_5}{S_7}=\dfrac{2\times 5}{7}=\dfrac{10}{7}$
となり，この求め方自体が規則となる．そしてこの規則をもつものは，これだけであることもわかる．

[解答]
(1) の恒等式を $x^n$ 倍すると
$x^n(x-a)(x-b)(x-c)$ $=x^{n+3}-(a+b+c)x^{n+2}+(ab+bc+ca)x^{n+1}-abcx^n$
となり，この恒等式に $x=a,b,c$ を代入して和をとることにより
$0=S_{n+3}-(a+b+c)S_{n+2}+(ab+bc+ca)S_{n+1}-abcS_n$
が成立する．よって
$S_{n+3}=(a+b+c)S_{n+2}-(ab+bc+ca)S_{n+1}+abcS_n$
となる．

(2) $ab+bc+ca=p$ ， $abc=q$ とおくと
$S_0=3$ ， $S_1=0$ ， $S_2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2p$
であり，(1)から漸化式
$S_{n+3}=-pS^{n+1}+qS^n$
をみたすので，逐次的に
$S_3=3q$ ， $S_4=2p^2$ ， $S_5=-5pq$ ， $S_6=-2p^3+3q^2$ ， $S_7=7p^2q$
と求めることができる．よって
$\dfrac{S_2S_3}{S_5}=\dfrac{-2p\times 3q}{-5pq}=\dfrac{6}{5}$ ， $\dfrac{(S_2)^2S_3}{S_7}=\dfrac{2^2p^2\times 3q}{7p^2q}=\dfrac{12}{7}$ ， $\dfrac{S_2S_5}{S_7}=\dfrac{-2p\times (-5pq)}{7p^2q}=\dfrac{10}{7}$
となる．

(3) $\dfrac{S_2S_3}{S_5}=\dfrac{2\times 3}{5}$ ， $\dfrac{(S_2)^2S_3}{S_7}=\dfrac{2^2\times 3}{7}$ ， $\dfrac{S_2S_5}{S_7}=\dfrac{2\times 5}{7}$ のように， $S_n$ を $n$ に置き換えた値となっている．