2021年(令和3年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1]

$a,b$ を $ab\lt 1$ をみたす正の実数とする． $xy$ 平面上の点 ${\rm P}(a,b)$ から，曲線 $y=\dfrac{1}{x}（x\gt 0）$ に $2$ 本の接線を引き，その接点を ${\rm Q}(s,\dfrac{1}{s})$ ， ${\rm R}(t,\dfrac{1}{t})$ とする. ただし， $s\lt t$ とする．

(1) $s$ および $t$ を $a,b$ を用いて表せ.

(2) 点 ${\rm P}(a,b)$ が曲線 $y=\dfrac{9}{4}-3x^2$ 上の $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ をみたす部分を動くとき， $\dfrac{t}{s}$ の最小値とそのときの $a,b$ の値を求めよ．

2021.02.25記
$X=\dfrac{\sqrt{ab}}{a}x=cx$ ， $Y=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}y=\dfrac{1}{c}y$ という線形変換をイメージ

[解答]
(1) $y=\dfrac{1}{x}$ の $x=u$ における接線の式は，切片方程式から $\dfrac{x}{2u}+\dfrac{uy}{2}=1$ でこれが $(a,b)$ を通るので
$\dfrac{a}{2u}+\dfrac{ub}{2}=1$ ，つまり $bu^2-2u+a=0$ となる．この2解が $s,t（s\lt t）$ により $s=\dfrac{1-\sqrt{1-ab}}{b}$ ， $t=\dfrac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$ となる．

(2) $ab=k$ とおくと， $\dfrac{t}{s}=\dfrac{1+\sqrt{1-k}}{1-\sqrt{1-k}}$ $=-1+2\dfrac{1}{1-\sqrt{1-k}}$ は， $k$ が最大のときに最小となる．

$b=\dfrac{9}{4}-3a^2$ のとき， $k=\dfrac{9}{4}a-3a^3$ $=3a\Bigl(\dfrac{3}{4}-a^2\Bigr)$ だから， $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $=\dfrac{1}{2}$ のときに $k$ が最大値 $\dfrac{3}{4}$ をとる．

このとき， $b=\dfrac{3}{2}$ ， $\dfrac{t}{s}=3$ となる．

2021.03.14記
線形変換をイメージを書いているけど伝わらないよなぁ。

$X=\dfrac{\sqrt{ab}}{a}x=cx$ ， $Y=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}y=\dfrac{1}{c}y$ という線形変換を考えると，この変換によって $t\to ct$ ， $s\to cs$ となるので $\dfrac{t}{s}$ は不変である．このとき $\rm P$ の像は， $C=\sqrt{ab}$ とおくと， $(C,C)$ となるので， $Y=X$ 上の点 $(C,C)$ から引いた接線の接点について考えれば良いことがわかる．

このとき2接点は $Y=X$ についての対称性から $X=T,\dfrac{1}{T}（T\gt 1）$ の形をしているので， $\dfrac{t}{s}=T^2$ は接点の大きい方の2乗の値をもつことになる．

図形的に考えると， $(C,C)（0\lt C\lt 1）$ が原点に近いほど接点は $(1,1)$ から離れ， $(1,1)$ に近いほど $(1,1)$ に近づくので， $\dfrac{t}{s}$ が最小となるのは， $(C,C)$ が一番大きくなって $(1,1)$ に一番近くなるときである．