2022年(令和4年)京都大学-数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.05記

[4] $a,b$ を正の実数とする．直線 $L:ax+by=1$ と曲線 $y=-\dfrac{1}{x}$ との2つの交点
のうち， $y$ 座標が正のものを $\rm P$ ，負のものを $\rm Q$ とする．また， $L$ と $x$ 軸との交点を $\rm R$ とし， $L$ と $y$ 軸との交点を $\rm S$ とする． $a,b$ が条件
$\dfrac{\rm PQ}{\rm RS}=\sqrt{2}$
を満たしながら動くとき，線分 $\rm PQ$ の中点の軌跡を求めよ．

2022.03.05記

[解答]
$\rm P,Q$ の $x$ 座標を $p,q$ （ $p\lt 0\lt q$ ）とすると， $p,q$ は $ax^2-x-b=0$ の2解であるから， $p+q=\dfrac{1}{a}, pq=-\dfrac{b}{a}$ が成立する．

また， ${\rm R}\left(\dfrac{1}{a},0\right)$ ， ${\rm S}\left(0,\dfrac{1}{b}\right)$ であるから $x$ 座標を比べることにより， $\dfrac{\rm PQ}{\rm RS}=a(q-p)$ $=\sqrt{2}$ が成立するので， $a^2\{(p+q)^2-4pq\}=1+4ab=2$ ，つまり $ab=\dfrac{1}{4}$ が成立する．

線分 $\rm PQ$ の中点を ${\rm M}(X,Y)$ とすると ${\rm M}\left(\dfrac{p+q}{2},-\dfrac{p+q}{2pq}\right)$
$=\left(\dfrac{1}{2a},\dfrac{1}{2b}\right)$ $=\left(\dfrac{1}{2a},2a\right)$ (∵ $ab=\dfrac{1}{4}$ )
だから，
$a\gt 0$ より， $\rm M$ の軌跡は双曲線 $xy=1$ の $x\gt 0$ の部分．

[大人の解答]

${\rm P}'\left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{2},\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$ ， ${\rm Q}'\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2},\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\right)$ ， ${\rm R}'(1,0)$ ， ${\rm S}'(0,1)$ とおくと，この4点は $X+Y=1$ 上にあり， $\dfrac{{\rm P}'{\rm Q}'}{{\rm R}'{\rm S}'}=\sqrt{2}$ をみたしており， ${\rm P}',{\rm Q}'$ は $XY=-\dfrac{1}{4}$ 上にあり， ${\rm P}'{\rm Q}'$ の中点の座標は $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ である．

この状況を $x$ 軸方向に $\dfrac{1}{a}$ 倍， $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{b}$ 倍拡大すると，
$\rm P,Q,R,S$ は $ax+by=1$ 上にあり， $\dfrac{{\rm P}{\rm Q}}{{\rm R}{\rm S}}=\sqrt{2}$ をみたしており， ${\rm P},{\rm Q}$ は $xy=-\dfrac{1}{4ab}$ 上にあり， $:{\rm P}{\rm Q}$ の中点の座標は $\left(\dfrac{1}{2a},\dfrac{1}{2b}\right)$ となる．

${\rm P},{\rm Q}$ は $xy=-1$ 上であるから， $4ab=1$ でなければならず，
このとき ${\rm P}{\rm Q}$ の中点 $\left(\dfrac{1}{2a},\dfrac{1}{2b}\right)$ の軌跡は $xy=1$ となり， $a\gt 0$ より $x\gt 0$ の部分である．

双曲線 $X+Y=1$ と双曲線 $XY=-k$ （ $k\gt 0$ ）の交点は $Y=X$ について対称な位置にあるので　 $\dfrac{{\rm P}'{\rm Q}'}{{\rm R}'{\rm S}'}=\sqrt{2}$ をみたすとき， ${\rm P}'{\rm Q}'$ の中点を ${\rm M}'$ とすると， $\dfrac{{\rm P}'{\rm Q}'}{{\rm R}'{\rm S}'}=\dfrac{{\rm P}'{\rm M}'}{{\rm R}'{\rm M}'}=\sqrt{2}$ となるので，条件をみたす ${\rm P}'$ はただ1つだけ存在する．