2024年(令和6年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.04.13記

[4] 与えられた自然数 $a_0$ に対して，自然数からなる数列 $a_0，a_1，a_2，…$ を次のように定める．
$a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{a_n}{2} & (a_nが偶数のとき) \\ \dfrac{3a_n+1}{2} & (a_nが奇数のとき) \\ \end{array}\right.$

次の問いに答えよ．

(1) $a_0，a_1，a_2，a_3$ がすべて奇数であるような最小の自然数 $a_0$ を求めよ．

(2) $a_0，a_1，…，a_{10}$ がすべて奇数であるような最小の自然数 $a_0$ を求めよ．

本問のテーマ

コラッツの問題(コラッツ予想)(2024.04.16)

2024.04.11記(2024/04/11/233636)
$a_n$ が偶数のときの漸化式って何やねん。

[解答]
$b_n=a_n+1$ とおくと
$b_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{b_n+1}{2} & (b_nが奇数のとき) \\ \dfrac{3b_n}{2} & (b_nが偶数のとき) \\ \end{array}\right.$
となる．

(1) $a_0$ から $a_3$ がすべて奇数のとき， $b_0$ から $b_3$ はすべて偶数であり，
$b_0$ ， $b_1=\dfrac{3}{2}b_0$ ， $b_2=\dfrac{9}{4}b_0$ ， $b_3=\dfrac{27}{8}b_0$
が成立する．このとき， $b_0$ から $b_3$ がすべて偶数である必要十分条件は， $b_0$ は $2^4=16$ の倍数であることである．そのような最小の自然数 $b_0$ は $16$ であるから，求める $a_0$ は $2^4-1=15$

(2) (1) と同様にして求める $a_0$ は $2^{11}-1=2047$ となる．

2024.04.16記

コラッツの問題

コラッツの問題 - Wikipedia

自然数から自然数への写像
$f(n)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{n}{2} & (nが偶数のとき) \\ 3n+1 & (nが奇数のとき) \\ \end{array}\right.$
をコラッツ写像という．コラッツの問題とは
自然数からなる数列 $a_0，a_1，a_2，…$ がコラッツ写像 $f$ を用いて
$a_{n+1}=f(a_n)$ （ $n=0,1,…$ ）
にように定まる数列が必ず1に到達する(1,4,2,1,4,2,…と繰り返す)という問題である．

本問の場合，このコラッツ写像をショートカットしたものとなっている，つまり $a_n$ が奇数のとき， $f(a_n)$ は偶数だから $f(f(a_n))=\dfrac{3a_n+1}{2}$ となるので，コラッツ写像を用いて
$a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}f(a_n) & (a_nが偶数のとき) \\ f(f(a_n)) & (a_nが奇数のとき) \\ \end{array}\right.$
によって定まる数列となる．