1911年(明治44年)東京帝國大學工科大學-數學[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5] Find the locus of a point $\rm P$ fixed in a straight line $\rm AB$ of constant length which moves with its extremities $\rm A,B$ on two fixed straight lines, making an angle $\alpha$ with each other. To what family of curves does the locus belong ?

2019.03.27記

[5] 角度 $\alpha$ を成す2本の定直線上に、長さが一定の線分の両端 $\rm A,B$ それぞれがあるとき、線分 $\rm AB$ に固定された点 $\rm P$ の軌跡を求めよ。また、その軌跡はどのような曲線か？

もし $\rm P$ が線分 $\rm AB$ の中点ならば、2つの直線が $y=\pm(\tan\dfrac{\alpha}{2})x$ とおけば良いが、中点でない場合も考えるとそれほど得策ではない。

[解答]
$m=\tan\alpha$ とし，2直線を $y=0，mx$ とし， $\rm A$ が $y=0$ 上， $\rm B$ が $y=mx$ 上にあるとする．また ${\rm AP}=s,{\rm PB}=t$ で一定であるとする．原点を $\rm O$ とし，四角形 $\rm OAPQ$ が平行四辺形となるように点 $\rm Q$ をとる．このとき $\vec{OQ}=\vec{AP}$ であるから， $\rm OQ=s$ で一定となるので， $\rm Q$ の軌跡は $x^2+y^2=s^2$ となる．

$\rm PQ$ と $y=mx$ の交点を $\rm R$ とすると、 $\rm QR:RP=OR:RB=AP:PB$ $=s:t$ であるから、 ${\rm Q}(x,y)$ を ${\rm P}(X,Y)$ に移す変換は線形変換 $X=\dfrac{t}{s}x+\dfrac{s+t}{sm}y,Y=y$ となり、 $x=\dfrac{s}{t}X-\dfrac{s+t}{tm}Y,y=Y$ が成立する。