[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1924年(大正13年)東京帝國大學理學部(物理科、化學科)-數學[2]

[2] 橢圓ノ短軸ノ一端ヨリ引ケル弦ノ中ニテ極大ナルモノヲ索メヨ．

2022.08.07記
長年やっていると一度は経験している問題．

[解答]
楕円の式を \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（0\lt b\lt a）とし，
{\rm A}(0,-b)，{\rm P}(a\cos\theta,b\sin\theta)（0\leqq\theta\lt 2\pi）
とおくと，弦 \rm AB について
{\rm AB}^2=a^2\cos^2 \theta+b^2(\sin\theta+1)^2=:f(\theta)
であるから，
f'(\theta)=-2a^2\cos\theta\sin\theta+2b^2(\sin\theta+1)\cos\theta
=-2\cos\theta\{(a^2-b^2)\sin\theta-b^2\}
となる．

(i) a\lt \sqrt{2}b のとき，a^2-b^2\gt b^2 であるから，
f'(\theta)=0 なる \theta は \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2} であり，増減表は

\theta 0 \cdots \dfrac{\pi}{2} \cdots \dfrac{3\pi}{2} \cdots (2\pi)
f'(\theta) + 0 - 0 +
f(\theta) \nearrow 2b \searrow 0 \nearrow

となり，極大なるものは \theta=\dfrac{\pi}{2} のときの 2b つまり短直径である．

(ii) \sqrt{2}b=a のとき，
f'(\theta)=-2b^2\cos\theta(\sin\theta-1)
であるから，f'(\theta)=0 なる \theta は 0, \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2} であり，増減表は

\theta 0 \cdots \dfrac{\pi}{2} \cdots \dfrac{3\pi}{2} \cdots (2\pi)
f'(\theta) 0 + 0 - 0 + (0)
f(\theta) \nearrow 2b \searrow 0 \nearrow

となり，極大なるものは \theta=\dfrac{\pi}{2} のときの 2b つまり短直径である．

(iii) \sqrt{2}b\lt a のとき，
\sin\alpha=\dfrac{b^2}{a^2-b^2} なる 0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2} が存在し，f'(\theta)=0 なる \theta は \alpha,\dfrac{\pi}{2},\pi-\alpha,\dfrac{3\pi}{2} であり，増減表は

\theta 0 \cdots \alpha \cdots \dfrac{\pi}{2} \cdots \pi-\alpha \cdots \dfrac{3\pi}{2} \cdots (2\pi)
f'(\theta) + 0 - 0 + 0 - 0 +
f(\theta) \nearrow 極大 \searrow 2b \nearrow 極大 \searrow 0 \nearrow

となり，極大なるものは \theta=\alpha,\pi-\alpha のときで，
\sin\alpha=\dfrac{b^2}{a^2-b^2}，
\cos^2\alpha=\dfrac{a^4-2a^2b^2}{(a^2-b^2)^2}
をみたすので，
{\rm AB}^2=a^2\dfrac{a^4-2a^2b^2}{(a^2-b^2)^2}+b^2\dfrac{a^4}{(a^2-b^2)^2}=\dfrac{a^4}{a^2-b^2}
となり，極大なるものの長さは\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}} である．