1938年(昭和13年)東京帝國大學工學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.24記

[1] $y$ 軸に平行な直線が同一象限内で楕圓 $x^2+9y^2=9$ 及び圓 $x^2+y^2=9$ を切る點に於いて，之等の曲線に引いた切線の間の角の最大値を求めよ．

2022.07.24記

[解答]
第一象限で考えても一般性を失わない．

$x=k$ （ $0\leqq k\leqq 3$ ）における接線はそれぞれ $kx+3\sqrt{9-k^2}y=9$ 及び $kx+\sqrt{9-k^2}y=9$ である．
よってこの2直線のなす角の余弦は
$C=\dfrac{k^2+3(9-k^2)}{3\cdot\sqrt{81-8k^2}}=\dfrac{27-2k^2}{3\sqrt{81-8k^2}}$
となる．

$u=\sqrt{81-8k^2}$ とおくと $k^2=\dfrac{81-u^2}{8}$ であるから，
$C=\dfrac{27+u^2}{12u}=\dfrac{1}{12}\Bigl(\dfrac{27}{u}+u \Bigr)\geqq \dfrac{1}{12}\cdot 2\sqrt{27}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
となる．等号成立は $u=\sqrt{27}$ ，つまり $k=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ のときであり，これは $0\leqq k\leqq 3$ をみたす．

よって求める最大値は $\dfrac{\pi}{6}$

[別解]
第一象限で $x=3\cos\theta$ で考えると接線の方程式はそれぞれ
$(\cos\theta) x+(\sin\theta)y=3， (\cos\theta) x+3(\sin\theta)y=3$
である．

よってこの2直線のなす角の余弦は
$C=\dfrac{\cos^2\theta+3\sin^2\theta} {1\cdot\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}} =\dfrac{1+2\sin^2\theta} {\sqrt{1+8\sin^2\theta}}$
となる． $t=\sin^2\theta$ （ $0\leqq t\leqq 1$ ）おくと
$C=\dfrac{1+2t}{\sqrt{1+8t}}$
であり，さらに $s=\sqrt{1+8t}$ とおくと $1\leqq s\leqq 3$ で
$C=\dfrac{3+s^2}{4s}=\dfrac{1}{4}\Bigl(\dfrac{3}{s}+s\Bigr)\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
となる．等号は
$s=\sqrt{3}\quad\Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{1}{4}$ $\quad\Longleftrightarrow\quad \sin\theta=\dfrac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\dfrac{\pi}{6}$
のとき成立する．このとき，なす角の最大値は余弦が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であることから $\dfrac{\pi}{6}$ となる．