[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)農學部-數學[4]

2022.05.29記

[4] 斷面積 A，高サ H ナル直六面體狀ノ水槽ニ滿タサレタル水ヲ下端ニ於ケル斷面積 a ナル小孔ヨリ全部流出セシムルニ要スル時間ヲ求メヨ．(但シ水深 h ナルトキノ流出速度ハ \sqrt{2gh} トス．)

2022.05.30記

[解答] 水面の高さが h のときの水面の高さの変化と時間の関係は dV=Adh=\sqrt{2gh}adt であるから，
dt=\dfrac{A}{a\sqrt{2g}}\cdot\dfrac{dh}{\sqrt{h}}
が成立する．よって
t=\dfrac{A}{a\sqrt{2g}}\displaystyle\int_H^0 \dfrac{dh}{\sqrt{h}}=\dfrac{A}{a\sqrt{2g}}\Bigl[ -2\sqrt{h}\Bigr]_H^0=\dfrac{A\sqrt{2H}}{a\sqrt{g}}